5 класс - Заочная математическая школа

*Заочная математическая школа

5-й класс (1-я часть)

Составитель доцент КубГУ Сергеев Э.А.

5 класс

6 класс

7 класс

8 класс

Тема 1. Натуральные числа и действия над ними.

Наша система записи чисел является десятичной, т.е. для записи чисел используются десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе значение цифры зависит от того места, на котором она стоит в рассматриваемом числе. С помощью только десяти цифр можно записать любое число, например, 25 199 763 025. Чтобы прочитать число, записанное в десятичной системе, его разбивают справа налево на группы (классы) по три цифры в каждом. Самая левая группа цифр может состоять из одной, двух или трех цифр. Справа налево сначала идет класс единиц, потом класс тысяч, затем класс миллионов, потом класс миллиардов, далее класс триллионов и т.д. В записи числа 25 199 763 025 четыре класса: класс единиц, состоящий из цифр 0,2,5; класс тысяч, состоящий из цифр 7,6,3; класс миллионов - из цифр 1,9,9 и класс миллиардов- из цифр 2,5. Таким образом, записано число, которое называется двадцать пять миллиардов сто девяносто девять миллионов семьсот шестьдесят три тысячи двадцать пять.

Большие числа на практике встречаются довольно часто: например, за 2000 лет не прошло еще миллиона дней.

Задача 1.

Сколько дней прошло от начала нашей эры до 1 января 2001 года, т.е. за 2000 лет ?А сколько часов, минут, секунд прошло за это время?

Упражнение 1. Сколько существует двузначных чисел?

Решение. Всякое двузначное число имеет вид , где цифра принимает девять значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а цифра принимает десять значений: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Следовательно, выражение принимает 90 (девяносто) значений, которые в порядке возрастания таковы: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, … , 98, 99. Таким образом, самое маленькое двузначное число 10, а самое большое 99.

Задача 2.

Сколько существует трехзначных чисел? Напишите наибольшее и наименьшее трехзначные числа.

Числа, начинающиеся с единицы и идущие в порядке возрастания, так что каждое следующее на единицу больше предыдущего, называются натуральными, и образуют ряд чисел, который называют натуральным: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,…

Натуральные числа появились более двух тысяч лет тому назад и служат людям для счета окружающих их предметов. Число ноль 0 не входит в натуральный ряд чисел. Мы видим, что натуральных чисел бесконечно много и каждое натуральное число, кроме 1, получается из предыдущего прибавлением 1, например 8=7+1, 100=99+1 и т.д.

Задача 3.

Для нумерации страниц книги понадобились все однозначные, двузначные и трехзначные числа. Сколько цифр понадобилось для нумерации всех страниц?

Задача 4.

Для нумерации страниц книги потребовалось всего 1392 цифры. Сколько страниц в этой книге?

Задача 5.

В книге 1246 страниц. Какое наименьшее число страниц должен прочитать ученик, чтобы число прочитанных страниц было больше числа непрочитанных страниц в книге?

Арифметические действия сложения, умножения, вычитания, деления натуральных чисел и свойства этих действий хорошо известны (смотри учебник по математике).

Задача 6.

В книге 124 страницы. Какое число страниц должен прочитать в ней ученик, чтобы число прочитанных страниц было в три раза больше числа не прочитанных?

Натуральные числа подразделяют на четные и нечетные. Четные числа это такие натуральные числа, которые делятся на 2 без остатка, например, 2, 4, 6, 8, 10, 12,…, а нечетные числа – это те, которые не делятся на 2. Заметим, что четные и нечетные числа чередуются в натуральном ряде чисел.

Из двух различных натуральных чисел всегда одно больше, а другое меньше. Меньшим является то, которое в натуральном ряде появляется раньше, например, число 12 меньше 26. Результат сравнения двух чисел записывают с помощью знаков > (больше) и < (меньше). Условились, что число 0 меньше любого натурального числа. Например, 12<26, 26>12, 0<6, 11>0, такие записи называются неравенствами.

Число 12 меньше, чем 21, а число 21 меньше, чем 40; этот факт можно записать в виде двойного неравенства 12<21<40.

Задача 7.

Какие натуральные числа n удовлетворяют двойному неравенству 10<n<25?

Задача 8.

а) Запишите в порядке возрастания все четные числа, меньшие 40 и большие 23.
б) Запишите в порядке убывания все нечетные числа, большие 30 и меньшие 50.

Каждое четное число можно записать в виде 2·k, подобрав подходящее натуральное k, например: 6=2·3, 8=2·4, 24=2·12 и т.д. Каждое нечетное число можно представить в виде 2k‑1 , подобрав подходящее натуральное число k, например: 5=2·3‑1, 7=2·4‑1, 23=2·12‑1, и т.д.

Четные и нечетные числа обладают интересными свойствами:

а) сумма двух четных чисел четна;

б) сумма двух нечетных чисел четна;

в) сумма трех нечетных чисел нечетна;

г) сумма четного и нечетного чисел есть нечетное число.

Докажем, например, свойство б).

Пусть одно из чисел равно 2×a‑1, другое 2×b‑1, тогда их сумма равна (2×a‑1)+(2×b‑1)=2×a+2×b‑2=2·(a+b‑1), т.е. четное число.

Докажите остальные свойства: а), в), г).

Задача 9.

При каких натуральных n сумма n нечетных чисел является:

а) четным числом;

б) нечетным числом?

Упражнение 2. Доказать, что произведение двух нечетных чисел есть нечетное число.

Доказательство. Пусть 2а‑1 одно нечетное число, а 2×в‑1 другое, тогда их произведение равно (2а‑1)·(2в‑1)=4ав‑2а‑2в+1=2·(2ав‑а‑в)+1 , т.е. получим нечетное число.

Задача 10.

Докажите, что произведение четного числа на любое натуральное число есть четное число.

Задача 11.

Докажите, что произведение трех, четырех и вообще любых k нечетных чисел есть нечетное число.

Указание. Используйте упражнение 2.

Сформулированные свойства четных и нечетных чисел позволяют решить следующие задания.

Задача 12.

Можно ли найти четыре натуральных числа, сумма и произведение которых являются нечетными числами? Ответ обосновать.

Указание. Пусть эти числа, т.е. мы предполагаем, что такие натуральные числа существуют и их произведение есть нечетное число. Какой вывод относительно чисел отсюда можно сделать?

Задача 13.

Можно ли соединить между собой проводами n телефонов так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими, если: а) n=4, b) n=5? Ответ обосновать.

Указание. Подсчитайте число концов проводов.

Задача 14.

а) Дано пять чисел 1, 1, 1, 3, 0. За один ход разрешается прибавить единицу к любым двум из этих чисел. Можно ли за несколько таких ходов получить пять одинаковых чисел?

б) Можно ли решить ту же задачу, что и в пункте а) для четырех чисел: 1,1,3,0?

Интересные задачи связаны с арифметическими действиями над натуральными числами.

Сумму =1+2+3+4+5+6+7+8+9 легко и быстро можно посчитать, сгруппировав ее слагаемые по два, кроме среднего числа 5, следующим образом:

=(1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+5=10·4+5=45.

Аналогичной группировкой слагаемых легко посчитать сумму

=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)++(5+6)=11·5=55.

Указанным приемом К.Ф.Гауссу (1777-1855), знаменитому математику, в возрасте 10 лет удалось быстро посчитать на уроке сумму из ста последовательных натуральных чисел =1+2+3+…+99+100. Попробуйте и вы найти эту сумму.

Задача 15.

Найдите сумму последовательных натуральных чисел.

Задача 16.

а) Найдите сумму ста четных последовательных натуральных чисел
T=2+4+6+…+198+200.

б) Найдите сумму ста последовательных нечетных чисел L=1+3+5+…+199.

Указание. Используйте сумму =1+2+3+…+199+200 и сумму Т пункта а).

Упражнение 3. В каждой клетке прямоугольной таблицы 45, т.е. содержащей 4 строки и 5 колонок, расставьте по одному натуральному числу так, чтобы сумма чисел в любой строке была равна 25 и суммы чисел в колонках тоже были бы равны между собой.

Решение. Сумма всех чисел в заполненной по условию таблице должна быть равна произведению 25 на число строк в таблице, т.е. 25·4=100. Так как в таблице 5 столбцов, то сумма чисел в каждом столбце равна частному 100:5=20, следовательно, можно клетки нашей таблицы заполнить, например, одними пятерками.

Задача 17.

Найдите еще другие решения упражнения 3.

Задача 18.

Докажите, что в клетках прямоугольной таблицы 45 нельзя расставить натуральные числа так, чтобы их сумма в каждой строке была равна 15, а их сумма в каждом столбце была равна 14.

Указание. Подсчитайте двумя способами сумму чисел таблицы.