Замена неизвестного.
Если уравнение имеет вид
Аcos2
x+Bcos2x+Csin2x+Dsinx+E = 0то замена y = sinx приводит его к квадратному, так как
cos2x = 1-sin2x = 1-2y2
cos2x = 1-sin2x = 1-y2
Если уравнение содержит слагаемое Dcosx вместо Dsinx, то используется замена y=cosx.
Если в тригонометрическом уравнении одна из функций sinax или cosax входит только в четных степенях, то, применяя основное тригонометрическое тождество, уравнение можно привести к виду P(cosax) = 0 или P(sinax) = 0, где P(y)
ѕ многочлен.При решении однородных уравнений, т.е. уравнений вида
P(sin
a x,cosa x)=0, где a № 0, P(y,z) – однородный многочлен степени n,Рассматривается два случая: 1) cos
a x=0, 2)cosa x≠ 0. Во втором случае, разделив уравнение на (cosa x)n, получим равносильное ему уравнение P(tgx,1)=0
При решении уравнений вида F(sin
a x ± cosa x, sin2a x) = 0 полезно применить замену неизвестнойsin
a x ± cosa x=z, так как при этом ± sin2a x = (sina x ± cosa x)2-1 = z2-1, sin2a x= ± (z2-1)|
7.4.1.
|
2cos2x+4cosx=3sin2x |
|
2π n± arccos[(√ 19-2)/5], n∈ Z |
|
7.4.2.
|
3(1-sint)+sin4t=1+cos4t |
|
(-1)nπ /6+π n; π /2(4n+1), n∈ Z |
|
7.4.3.
|
3sin5z-2cos5z=3 |
|
π /10+2/5 π n; 2/5 arctg5+2/5 π n, n∈ Z
|
|
7.4.4.
|
sinx⋅ cosx-3cos2x=0 |
|
π /2+π n; arctg3+π n, n∈ Z |
|
7.4.5.
|
sinx-sin2x=2sin2(x/2)
|
|
π /4(4n-1); (-1)nπ /4-π /4+π n, n∈ Z |