Квадратные уравнения

Квадратные уравнения достаточно подробно изучаются в школьном курсе математики. Поэтому мы ограничимся рассмотрением некоторых нетривиальных примеров уравнений с параметрами, связанных с вопросами расположения корней квадратного трехчлена, а также задачами на применение теоремы Виета.

Рекомендуем вначале просмотреть страницы из справочника:

Квадратичная функция

Решение простейших уравнений

Пример 2.1. Решить уравнение

Решение: В этом уравнении контрольным является значение а = 2. При а = 2

уравнение (2) является линейным, а при

оно квадратное.

1) При a = 2 уравнение принимает вид –4x + 1 = 0, решением которого будет x = 1/4.

2) Вычислим дискриминант уравнения (2) при

т.е.

Из уравнения

находим a = 1, a = 6.

При этом,

если

то D < 0 и уравнение не имеет корней,

если а = 1, то уравнение имеет два совпадающих корня х1 = х2 = -1;

если а = 6,то уравнение также имеет два совпадающих корня х1 = х2 = 3/2;

если же

то уравнение имеет два различных корня

Ответ: 1) если,

то корней нет;

2) если а = 2, то х = 1/4;

3) если a = 1, то х1 = х2 = –1; если a = 6, то; х1 = х2 =3/2;

4) если

то

Замечание: Фактически в решении примера 2.1 получено решение следующей задачи:

Найти все значения параметр а, квадратное уравнение

(a – 2)x2 – 2ax + 2a – 3 = 0

а) имеет два различных корня;

б) не имеет корней;

в) имеет два равных корня.