Для любой пирамиды справедливы равенства
 

S полн = S бок + S осн,	(8)
V =  Sh оснЧh	(9)

где S _полн – площадь полной поверхности;

S _{бок – площадь боковой поверхности (сумма площадей боковых граней);}

S _{осн – площадь основания пирамиды;}

_{V – объем пирамиды;}

_{h – высота пирамиды.}

_{Для правильной пирамиды также имеем}

S _бок =  P _осн Ч 1 (10)

где P _осн – периметр основания пирамиды;

1 – длина апофемы (высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды).

      Часть пирамиды, заключенная между плоскостью основания и плоскостью, проведенной параллельно основанию с пересечением боковых ребер пирамиды, называют усеченной пирамидой. Основание пирамиды и сечение указанной плоскостью исходной пирамиды называют основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани усеченной пирамиды называют боковыми. Ребра, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды, часто высотой усеченной пирамиды также называют любой отрезок, перпендикулярный плоскостям оснований и имеющий концы на этих плоскостях. Ясно, что основания усеченной пирамиды подобны. Если ее основания – правильные многоугольники и все ее боковые ребра равны, то такую усеченную пирамиду называют правильной.

     Для произвольной усеченной пирамиды имеют место равенства
 

S полн = S бок ,	(11)
,	(12)

где S _полн – площадь полной поверхности;

S _{бок – площадь боковой поверхности (сумма площадей боковых граней – трапеций);}

,  – площади оснований;

V – объем усеченной пирамиды.

h – высота усеченной пирамиды;

Для правильной усеченной пирамиды также имеем

S _бок = , (13)

где ,  – периметры оснований;

1 – апофема (высота боковой грани – трапеции).

Упражнение 7.2.1.

     Показать, что для любой пирамиды (усеченной пирамиды) справедлива формула Эйлера.

     Указание. Желательно определить числа вершин, ребер и граней в  n-угольной пирамиде (усеченной пирамиде).

     При решении задач, связанных с пирамидой, полезными являются приведенные далее утверждения 1 – 3.

Утверждение 1.

      Следующие три предложения а) – в) равносильны:

      а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром описанной окружности около многоугольника в основании;

      б) боковые ребра пирамиды равны;

      в) боковые ребра образуют равные (острые) углы с плоскостью основания пирамиды.

Утверждение 2.

     Следующие три предложения а) – в) равносильны:

     а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания является центром вписанной окружности в многоугольник, лежащий в основании;

     б) высоты боковых граней - треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны и лежат на соответствующих боковых гранях;

     в) двугранные углы при основании пирамиды равны.

Утверждение 3.

     Следующие три предложения а) – в) равносильны:

     а) ортогональная проекция вершины пирамиды на плоскость основания равноудалена от прямых, содержащих стороны основания пирамиды;

     б) высоты боковых граней - треугольников, проведенные из вершины пирамиды, равны;

     в) плоскости боковых граней образуют равные углы с плоскостью основания.

Упражнение 7.2.2.

     Доказать утверждения 1 – 3.

     Указание. Рассматриваем n - угольную пирамиду , у которой О – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания , а  – основания высот боковых граней -треугольников соответственно , , ... , проведенных из вершины S.

     Каждое из предложений а) – в) в утверждении 1 обеспечивает равенство треугольников , , ...  (рис. 1), откуда легко получаем доказательство этого утверждения.
 

Построим треугольники , , ... , у которых по теореме о трех перпендикулярах углы , , ...  равны углам между плоскостью основания и соответствующими плоскостями, содержащими боковые грани. Каждое из предложений а) – в) в утверждении 2, а также и в утверждении 3 обеспечивает равенство построенных треугольников, причем для утверждения 2 точки , , ...  являются точками касания вписанной окружности в многоугольник  (рис. 2). Отметим, что предложения в) в утверждениях 2 и 3 имеют разный смысл, так как двугранный угол может быть тупым, а угол между плоскостями всегда не превышает 90° .

      Для более ясного различия формулировок утверждений 2 и 3 приведем задачу, иллюстрирующую применение этих утверждений.

Пример 7.2.3.

      В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник со стороной a. Найти объем пирамиды, если известно, что плоскости боковых граней наклонены к плоскости основания под углом 60° .

Пусть SABC – данная пирамида, О – ортогональная проекция вершины S на плоскость основания АВС. Согласно утверждению 3, точка О равноудалена от прямых АВ, ВС и АС. Не ограничивая общности рассуждений, имеем два случая расположения точки О: а) О находится внутри треугольника АВС, т.е. является центром вписанной окружности (рис. 1); б) О находится вне треугольника АВС, т.е. является центром вневписанной окружности (рис. 2). Полагая, что D – точка пересечения прямых АО и ВС (ясно, что D – точка касания окружности с ВС), в случае а) имеем . В случае б) из очевидного подобия прямоугольных треугольников АОЕ и ACD (рис. 2) имеем , т.е. ввиду OD = OE и получаем  и .        Из прямоугольного треугольника SOD ввиду  РSDO = 60°  (рис 3 и 4) находим .       Откуда в случаях а) и б) соответственно имеем  и

 

, а значит, в силу  окончательно по формуле (9) получаем

в случае а)

и  в случае б).

      Ответ:  или .

Упражнение 7.2.4. (КубГУ, матем., 1982 г.)

      В основании треугольной пирамиды лежит треугольник с острыми углами a и  b. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом  f , высота пирамиды равна H. Найти объем.

     Указание. Можно использовать утверждение 1.

     Ответ: .

      Для тренировки рекомендуем самостоятельно выполнить следующие упражнения 7.2.5 и 7.2.6.

Упражнение 7.2.5.

     Элементами пирамиды будем называть длины сторон оснований и боковых ребер, высоту, площади основания, боковой и полной поверхностей, объем, плоские углы при вершине (углы между боковыми ребрами, принадлежащими одной грани) и плоские углы при основании (углы между сторонами оснований и боковыми ребрами), двугранные углы между смежными боковыми гранями и между основанием и боковыми гранями. Для правильной n - угольной пирамиды сформулировать и решить несколько задач, в которых по известным двум элементам можно определить все другие элементы.

      Указание. Примером одной из таких задач может быть следующая: сторона основания правильной n - угольной пирамиды равна a и площадь боковой поверхности равна S. Найти боковое ребро, высоту, площадь основания, площадь полной поверхности, объем, плоские углы на всех гранях и двугранные углы между любыми двумя смежными гранями.

      Заметим, что таких задач можно сформулировать более сорока.

Упражнение 7.2.6.

     Элементами усеченной пирамиды будем называть длины сторон двух ее оснований и боковых ребер, высоту, площади оснований, боковой и полной поверхностей, объем, плоские углы на гранях и двугранные углы между смежными гранями. Для правильной n - угольной усеченной пирамиды сформулировать и решить несколько задач, в которых по трем известным элементам можно определить все другие элементы.

      Определенный интерес представляют задачи на правильную пирамиду, в которых по одному известному элементу можно найти другой элемент.

Пример 7.2.7. (КубГУ, матем., 1973 г.)

      В правильной треугольной пирамиде дан двугранный угол a между основанием и боковой гранью. Найти угол между боковыми гранями.

Пусть D – середина ребра ВС в правильной пирамиде SABC (см. рисунок). Так как DBSC и DBAC равнобедренные, то AD и SD перпендикулярны ВС, а значит по условию РADS = a. Теперь пусть Е – основание высоты из вершины В в DASB. Так как DASB = DASC, то Е – основание высоты из вершины С в DASC, т.е. РBEC – искомый угол, который для краткости обозначим через b. Ортогональная проекция О вершины S на плоскость АВС попа-  дает в центр вписанной окружности в DABC и лежит на высоте AD. Полагая AB = BC = AC = a для радиуса вписанной окружности в DABC, имеем . Откуда из прямоугольного DSOD находим . Поэтому .

, откуда . Из DBSD получаем

.

     В равных треугольниках ASB и ASC высоты BE и CE тоже равны, поэтому  DBEC равнобедренный и его медиана DE является биссектрисой, т.е. . Из прямоугольного треугольника BED находим , т.е. . Поэтому окончательно получаем .

     Ответ: .

     Замечание. В правильной усеченной пирамиде тоже иногда можно по одному известному элементу найти другой элемент. Например, если бы в правильной усеченной пирамиде угол между основанием и боковой гранью был равен a (несущественно a – тупой или нет), то, достроив ее до правильной треугольной пирамиды, по аналогии с решением примера 7.2.7 мы бы нашли угол между смежными боковыми гранями, который будет равен .

Упражнение 7.2.8.

В правильной усеченной четырехугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а двугранный угол при большем основании равен arccos 0,75. Найти сторону меньшего основания этой пирамиды, если ее объем равен .
 

Указание. О – ортогональная проекция вершины  на плоскость нижнего основания, К и H – основания перпендикуляров из точки  на стороны АВ и АD соответственно. Показать, что АКОН – квадрат, т.е. OH = AH. Из  имеем , тогда из  получаем     и  AH = 3.

     Из  находим высоту . Полагая, что x – сторона меньшего основания, имеем x + 6 – сторона большего основания. Далее по формуле (12), зная объем , составляем уравнение относительно x.

     Ответ: 10.

     Теперь рассмотрим некоторые задачи, когда пирамида (усеченная пирамида) не является правильной.

Пример 7.2.9. (КубГУ, эконом., 1992 г.)

     Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, один из острых углов которого равен a. Каждое боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом b. Найти длину бокового ребра, если объем пирамиды равен V.

Согласно утверждению 1, ортогональная проекция О вершины S пирамиды SABC попадает в центр описанной около треугольника АВС окружности. Так как DABC прямоугольный, то О – середина гипотенузы (см. рисунок). Для краткости полагаем SO = h и AC = c. Из прямоугольного треугольника АВС ввиду того, что РBAC = a, находим AB = c cos a и BC = c sin a. Откуда   .

Поэтому, получая из прямоугольного DAOS  равенство , имеем  или , т.е. .

Откуда из DAOS окончательно находим

.

      Ответ: .

Упражнение 7.2.10. (КубГУ, эконом., 1989 г.)

      Основанием пирамиды служит правильный треугольник АВС, длина стороны которого . Основанием высоты, опущенной из вершины S, является точка О, лежащая внутри треугольника АВС. Расстояния от точки О до сторон АВ, ВС и СА находятся в отношении 2 : 1 : 3 соответственно. Площадь грани SBC равна . Найти длину высоты пирамиды.

     Указание. Высоты треугольников АОВ, ВОС и АОС соответственно равны 2k, k и 3k, а сумма их площадей равна . Откуда можно найти k, т.е. расстояние от О до ВС.

     Ответ: 1,5.

Пример 7.2.11.

      Площади верхнего и нижнего оснований усеченной пирамиды соответственно равны 1 и 4 (кв. ед). Параллельно основанию проведена плоскость, делящая пирамиду на две равновеликие части. Определить площадь сечения и отношение, в котором секущая плоскость делит высоту пирамиды.

Сначала отметим, что отношение объемов подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Для применения этого факта достроим данную усеченную пирамиду  до пирамиды  (см. рисунок).

Полагаем, что объем пирамиды  равен  и  – многоугольник с искомой площадью S, являющейся сечением, разбивающим данную усеченную пирамиду на две равновеликие части с объемами .

Пирамиды ,  и  подобны (гомотетичны с центром S), причем коэффициент подобия первой и второй равен , а первой и третьей –  (учли, что отношение площадей подобных фигур равно квадрату их коэффициента подобия).
 

Откуда следует, что объем данной усеченной пирамиды равен , а объем усеченной пирамиды  равен . По условию, объем второй усеченной пирамиды вдвое меньше объема данной, а значит, , т.е.  (кв. ед.).

      Далее замечаем, что отношение, в котором секущая плоскость делит высоту данной усеченной пирамиды , равно отношению высот  и  соответственно пирамид  и . Согласно формуле (12) для объема усеченной пирамиды находим  и . Откуда окончательно

,

после некоторых преобразований получаем .

      Ответ:  (кв. ед.) и .

Упражнение 7.2.12.

      Доказать, что если плоскость, параллельная основаниям усеченной пирамиды, делит эту пирамиду на две равновеликие части, то площадь сечения равна

,

где  и  – площади оснований данной пирамиды.

      Указание. Рассуждения при доказательстве подобны рассуждениям в примере 7.2.11 при нахождении площади сечения S.

Рассмотрим довольно часто встречающуюся на вступительных экзаменах ситуацию.
 

Пусть a – ребро двугранного угла, равного f, S – точка на a, b и c – лучи, лежащие на сторонах двугранного угла с началом в точке S такие, что острые углы, образованные лучами b и c с прямой a, соответственно равны a и b (см. рисунок). Чему равен угол между лучами b и c?

      Следующее задание полностью отвечает на поставленный вопрос.

Пример 7.2.13.

      В треугольной пирамиде SABC ребро SA перпендикулярно плоскости основания АВС, причем РASB = a, РASC = b, РBAC = f. Найти угол BSC.

      Сначала отметим, что если в ситуации, приведенной до примера 7.2.13, провести плоскость, перпендикулярную к прямой a, то поставленный вопрос соответствует условию этого примера и в этом случае искомый угол между лучами b и c будет равен углу BSC (покажите это подробнее!).

Для удобства положим, что РBSC = g и SA = x. Из прямоугольного DASB получаем AB = x tg a и , а из DASC  AC = x tg b и . По теореме косинусов в DBAC находим , с другой стороны по теореме косинусов в DBSC находим

.

      Откуда, приравнивая правые части полученных равенств для , после некоторых преобразований получим:

,

т.е.  и окончательно cosg  = cosa cosb + sina sinb cosf.

      Ответ: arccos(cosa cosb + sina sinb cosf).

      Замечание. Равенство, полученное в примере 7.2.13

называют аналогом теоремы косинусов для трехгранного угла (с вершиной S и ребрами SA, SB, SC). Это равенство (14) полезно запомнить. Оно дает возможность по трем известным углам из a, b, g  и  f, где a, b О(o;p/2)  и g, f О(o;p), определить оставшийся четвертый угол. Оказывается в некоторых ситуациях можно даже по двум известным углам из указанных определить два других. Одна из таких известных в школьном курсе ситуаций описана в следующем задании.

Упражнение 7.2.14.

      В пирамиде OABC ребро ОB перпендикулярно основанию АВС, а ребро АС перпендикулярно грани ВОС, причем РBOC = g и РABC =  f. Найти углы ВОА и АОС.
 

Указание. Обозначим РBOA = a  и РAOC =  b; ясно, что все углы a, b, g  и f – острые (см. рисунок). Дальнейшее решение полностью соответствует решению задачи 2 в § 19 п. 167 учебника А.В.Погорелова “Геометрия 7 – 11” (М.; 1993).            Ответ: РBOA = arctg (tgg / cos f)          и РAOC = arctg (sing tg f).

      Определенный интерес представляют задачи, в которых надо определить некоторую характеристику планиметрической фигуры, полученной каким-то образом из стереометрической. В качестве примера приведем задания вступительного экзамена в КубГУ, сформулированные в примере 7.2.15 и упражнении 7.2.16.

Пример 7.2.15. (КубГУ, матем., 1993 г.)

      Правильный тетраэдр с ребром 3 рассечен плоскостью так, что сечением является непрямоугольный четырехугольник, а вершины его делят ребра тетраэдра на отрезки длиной 1 и 2. Установить вид сечения и найти его площадь.

С точностью до обозначения буквами вершин тетраэдра можно считать, что вершины К, L, M и N сечения лежат на ребрах АВ, ВС, CD и AD соответственно. Сначала рассмотрим ситуацию, когда BK = BL (см. рисунок). В этой ситуации KL ||AC, а значит, прямая KL параллельна плоскости треугольника ADC. Поэтому плоскость, проходящая через KL, пересекает плоскость треугольника ADC по прямой, параллельной KL, т.е. KL ||MN. Откуда MN  || AC, а значит, DN = DM.

      Не ограничивая общности рассуждений, по условию задачи можем считать, что BK = BL = 1 и DN = DM = 2 (при BK = BL = 2 и DN = DM = 1 получаем симметричную фигуру относительно плоскости симметрии тетраэдра, проходящей через ребро АС).

      Ввиду правильности треугольников KBL и NDM получаем KL = 1 и NM = 2. Из DANK по теореме косинусов находим . Аналогично из DCML получаем . Итак, в этом случае сечение KLNM является равнобедренной трапецией (см. рисунок). Пусть  и  – основания перпендикуляров из К и L на NM соответственно. Из  имеем .
 

Так как  ( – прямоугольник), то .  Откуда следует, что  и .

      Мы полностью исследовали ситуацию, когда BK = BL. Она с точностью до обозначения буквами вершин тетраэдра и сечения соответствует случаям, когда на двух ребрах, исходящих из одной вершины тетраэдра, найдутся вершины сечения, равноудаленные от этой вершины тетраэдра.

      Осталось показать, что другие случаи невозможны. Предположим противное, т.е. любые две вершины сечения разноудалены от вершины тетраэдра, в которой пересекаются ребра, содержащие эти две вершины. Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что BK = CL = DM = AN = 1 (см. рисунок).
 

Из равенства треугольников NAK, KBL, LCM и MDN следует NK = KL = LM = MN, т.е. KLMN – ромб, а значит, KN  || LM. По признаку параллельности прямой и плоскости получаем, что прямая KN параллельна плоскости треугольника BCD. Так как AK = 2 и AN = 1, то , а значит, прямые NK и DB пересекутся в плоскости треугольника ABD, что противоречит параллельности прямой KN и плоскости треугольника BCD. Пришли к противоречию.

     Ответ: равнобедренная трапеция с площадью  (кв. ед.).

Упражнение 7.2.16. (КубГУ, эконом., 1993 г.)

      Вычислить площадь ортогональной проекции правильного тетраэдра с ребром a на плоскость, параллельную его двум скрещивающимся ребрам.

      Указание. Показать, что ортогональная проекция представляет собой квадрат со стороной .

      Ответ: .

      В заключение приведем некоторые задачи, в которых рассматриваются конфигурации из многогранников.

Пример 7.2.17. (КубГУ, матем., 1979 г.)

      В правильную треугольную пирамиду SABC, боковое ребро которой имеет длину 1 и наклонено к плоскости основания под углом a, вписана треугольная призма , верхнее основание которой совпадает с сечением пирамиды SABC некоторой плоскостью, а нижнее лежит на основании пирамиды. При какой длине ребра основания призмы призма имеет наибольший объем?

      Пусть  и О – ортогональные проекции точки S на параллельные плоскости  и ABC соответственно. Так как пирамида является правильной, то  и ОС – радиусы описанных около равносторонних треугольников  и АВС окружностей. Ясно, что  – расстояние между плоскостями  и АВС ( что то же самое, между плоскостями  и  (рис. 1).
 

Заметим, что независимо от расположения основания призмы  на треугольнике АВС объем этой призмы будет равен . Поэтому на рисунке для большей наглядности можно не изображать полностью вписанную призму, а достаточно указать лишь ее верхнее основание (рис. 2). Для удобства положим BC = a и , где x – длина ребра основания призмы. Тогда , а с другой стороны из прямоугольного треугольника SOC находим OC = 1 cos a.

      Откуда .

Далее,  – коэффициент подобия D и DABC, поэтому для радиусов описанных окружностей около этих треугольников имеем , а значит, из подобия  и DSOC (обоснуйте!) получаем .
 

Учитывая, что (из DSOC)  SO = 1 sin a и , получаем .  Откуда .  Замечая, что площадь верхнего основания равна , находим объем призмы  по формуле

.

      По смыслу задания xО(0;a), т.е. . Таким образом, задача свелась к нахождению значения x на промежутке , при котором функция  принимает наибольшее возможное значение.

      Имеем . Так как коэффициент при  отрицателен (a – острый угол и поэтому ) и корнями уравнения  будут  и , то  положительно на  и отрицательно на . Поэтому на указанных двух промежутках функция V(x) соответственно возрастает и убывает, а значит, при  на промежутке  функция V(x) принимает наибольшее значение.

      Ответ: .

Упражнение 7.2.18. (КубГУ, эконом., 1990 г.)

      У правильной четырехугольной пирамиды боковые ребра равны 5 см, а высота – 3 см. В эту пирамиду вписываются всевозможные пирамиды с вершинами в центре ее основания и с основаниями, являющимися ее плоскими сечениями, перпендикулярными к высоте. Найти высоту той из вписанных пирамид, объем которой наибольший.

      Указание. Как и в примере 7.2.17 приводим задачу к нахождению x (x – высота вписанной пирамиды), при котором функция V(x) (объем вписанной пирамиды) принимает наибольшее значение на промежутке (0;3).

      Ответ: 1 см.