Испытания Бернулли. Формула Бернулли.
Задачи Параметры Ответы Примеры Решение
Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.
Обычно эти два исхода называются “успехом” (У) или “неудачей” (Н) и соответствующие вероятности обозначают p и q. Ясно, что p
і 0, qі 0 и p+q=1.Пространство элементарных событий каждого испытания состоит из двух событий У и Н.
Пространство элементарных событий n испытаний Бернулли
W ={w } содержит 2n элементарных событий, представляющих собой цепочки из n символов У и Н. Каждое элементарное событие является одним из возможных исходов последовательности n испытаний Бернулли. Поскольку испытания независимы, то, по теореме умножения, вероятности перемножаются, то есть вероятность любой конкретной последовательности - есть произведение, полученное при замене символов У и Н на p и q соответственно, то есть, например: Р(w )={У У Н У Н ... Н и У }=p p q p q ... q q p .Отметим, что иногда испытания Бернулли называют биноминальными испытаниями. Кроме того, исход испытания Бернулли часто обозначают 1 и 0, и тогда элементарное событие в последовательности n испытаний Бернулли - есть цепочка, состоящая из нолей и единиц. Например:
w =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).Испытания Бернулли представляют собой важнейшую схему, рассматриваемую в теории вероятностей. Эта схема названа в честь швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705), в своих работах глубоко исследовавших эту модель.
Основная задача, которая нас будет здесь интересовать: какова вероятность того события, что в n испытаниях Бернулли произошло m успехов?
Ясно, что в результате каждого биноминального испытания получается либо 0 успехов, либо 1 успех. Обозначим через
m n число успехов в n испытаниях. Очевидно, что m n - функция от элементарных событий w , представляющих собой цепочку результатов испытаний. Ясно, что m n равна количеству единиц (успехов) в этой цепочке. Такие функции принято называть случайными величинами.Тогда события, заключающиеся в том, что в последовательности n испытаний Бернулли произошло ровно m успехов, естественно, могут быть записаны в виде: {
w О W , m n(w )=m} или коротко {m n=m}, а их вероятность Р {m n=m} или Рn{m}.Отметим, что если рассмотреть случайную величину
x к, определяемую условиями:
тогда 
и 
.
Теорема (формула Бернулли). Вероятность Р {
m n=m} того, что n испытаний Бернулли с вероятностью успеха p и неудачи q=1-p закончилась m успехами и m-n неудачами равна: Р{m n = m}=
. (1)
В прикладных задачах часто бывает полезным знать число m
0, которому соответствует наибольшая вероятность при данном числе испытаний. Знание m n=m0 должно удовлетворять условию: np-q Ј m0 Ј np+p. Число m0 называют наивероятнейшим числом успехов.
Задачи Параметры Ответы Примеры Решение