Типовой расчет по курсу математического анализа №1

Свойства элементарных функций и их графики.

Преобразования графиков. Графики сложных функций.

(методические указания)

Графиком функции y=f(x) x ОX называется множество Gf точек координатной плоскости XOY вида (x,f(x)), x ОX.

Gf= {(x,y), x ОX, y=f(x)}

Здесь и в дальнейшем, когда в задаче требуется построить график функции, под этим понимается эскиз графика функции, который бы полно отражал все её свойства, полученные в результате проведенного исследования.

Исследование функций проводится по схеме (иногда говорят об исследовании по полной схеме):
 
 

  1. находится область определения;
  2. находятся нули функции и промежутки, на которых функция положительна и на которых она отрицательна; изучается характер поведения функции в граничных точках области определения, в частности при x ®+Ґ и x ®-Ґ, если область определения не ограничена;
  3. определяются асимптоты;
  4. исследуется, является ли функция четной или нечетной;
  5. исследуется, является ли функция периодической;
  6. исследуется, является ли функция ограниченной, определяя при этом по возможности множество значений функции;
  7. *) находятся точки экстремумов и промежутки возрастания и убывания функции;
  8. *) находятся промежутки выпуклости функции.

Заметим, что иногда бывает важным построить график функции отправляясь от графика той или иной элементарной функции с помощью определенных правил преобразования графиков функции или используя правила построения графиков сложных функции.

Приведем некоторые простейшие методы построения графиков функции.

График функции y=Af(ax+b) может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью простых геометрических преобразований. Приведем их в таблице:

y=f(x)+A Параллельный перенос его вдоль оси OY на А единиц вверх, если А>0 и на |A| единиц вниз, если A<0/
y=f(x-a) Параллельный перенос его вдоль оси ОY на a единиц вправо, если а>0, и на -а единиц влево, если a<0.
y=kf(x), k>0 Растяжение вдоль оси ОХ в k раз, если k>1, и сжатие в 1/k раз, если 0<k<1.
y=f(kx), k>0 Сжатие вдоль оси ОХ относительно оси OY в k раз, если k>1 и растяжение в 1/k раз, если 0<k<1.
y=-f(x) Симметричное отображение графика относительно оси ОХ.
y=|f(x)| Часть графика функции y=f(x), расположенная ниже оси ОХ, симметрично отражается относительно этой оси, остальная часть графика остается без изменения.
y=f(-x) Симметричное отображение графика относительно оси ОY.
Y=f(|x|) Часть графика функции y=f(x), расположенная в области x і0, остается без изменения, а его часть для области x Ј0 заменяется симметричным отображением относительно оси OY. 

Таким образом, построение графика функции y=Af(ax+b)+B по графику y=f(x)можно провести по схеме:

f(x) ® f(ax) ® Af(ax) ® Af(a(x+b/a))+B


пример 1

 f(x):=(ax+b)/(cx+d) при a:=3; b:=2; c:=8; d:=8

пример 2

 y=|f(x)| и y=f(|x|).

пример 3

 y=lnf(x); y=2f(x); y=arcsin (f(x)