Задание 18. Найти все особые точки функции в плоскости и выяснить их характер

а) ; б) ; в) ;

Решение:

а) Функцию

Воспользовавшись теперь сделанным выше замечанием, имеем: ± 1 – полюсы первого порядка (простые полюсы); ± i – полюсы второго порядка.

б) Докажем, что точка z=0 является существенно особой точкой .

Функция регулярна в кольцевой области {z: 0<|z|<¥ }.

Покажем, что не существует ни конечного, ни бесконечного предела f (z) при z® 0. Если z стремится к нулю вдоль положительной части действительной оси, (z=x>0), то , однако . Таким образом, не существует, следовательно, z=0 – существенно особая точка для . Точка z=¥ является точкой, в которой функция f (z) регулярна.

в) Найдем нули знаменателя f(z), т. е. корни уравнения

.

Из равенства следует, что знаменатель у функции f (z) обращается в нуль в точках , k=0, ± 1,…, которые и будут полюсами первого порядка для f (z). Точка z=0 – не изолированная особая точка, ибо она является предельной для полюсов. z=¥ – точка, в которой функция f (z) регулярна.

Приведем еще несколько примеров исследования особых точек

а) ; б).

Решение. а) Производя замену , получим соотношение

,

,

из которого заключаем, что точка z=¥ для функции f (z) является правильной точкой.

б) Область {z: 0<|z|<¥ } является окрестностью точки z=¥ для функции f (z).

Разложим в этой области данную функцию в ряд Лорана по степеням z:

Таким образом, точка z=¥ является полюсом третьего порядка.

Пример 2. Исследовать характер особой точки z=0 для функции .

Решение. Разложим эту функцию в ряд Лорана в окрестности точки z=0. Так как

,

.

В этом разложении главная часть отсутствует, следовательно, точка z=0 является устранимой особой точкой функции .