|
|
2.3. Симметрические системы
Выражение
f(x,y) будем называть симметрическим, если оно не изменится при замене переменных x на y и y на x.Примеры симметрических выражений:
f(x,y)=2x2-3xy+2y2,|
|
Основными симметрическими многочленами с двумя переменными считаются u=x+y и v=xy, а все остальные симметрические многочлены с двумя переменными могут быть выражены через основные симметрические многочлены.
Приведем несколько таких примеров, представляющих несомненный интерес для решения многих симметрических систем:
x2+y2= (x+y)2-2xy= u2-2v,
x3+y3= (x+y)(x2-xy+y2)= u(u2-2v-v)= u3-3uv,
x4+y4= (x2+y2)2-2x2y2= (u2-2v)2-2v2= u4-4u2v+2v2,
x2+xy+y2= u2-2v+v= u2-v и т.д.
Симметрической системой будем называть такую систему, все уравнения которой симметрические. Такие системы можно решать методом замены переменных, в роли которых выступают основные симметрические многочлены. В результате таких замен приходим к решению более простых систем уравнений, большинство из которых нами уже рассмотрено.
_______________________________________________________________________________________________________________________
