ВПЕРЕД  |  НАЗАД  |  ГЛАВНАЯ  |  ПЛАНИМЕТРИЯ  |  СТЕРЕОМЕТРИЯ
Многогранники
 @ Под многогранником понимают тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Всякий многогранник является ограниченным телом в пространстве, т.е. может быть помещен внутрь некоторой сферы. Плоскости, ограничивающие многогранник, пересекаются по прямым линиям, которые в свою очередь на этих плоскостях ограничивают некоторые многоугольники, называемые гранями многогранника. Другими словами, многогранник – это тело, поверхность которого является объединением некоторого числа многоугольников – граней. Стороны граней называют ребрами, а вершины граней – вершинами многогранника. Обычно к элементам многогранника относят его грани, ребра и вершины, а также плоские углы его граней (углы многоугольников) и двугранные углы при его ребрах (которые определяются гранями, подходящими к данному ребру). Среди многогранников (как и многоугольников) выделяют выпуклые и невыпуклые многогранники. Многогранник называют выпуклым, если для любых двух точек, принадлежащих ему, отрезок с концами в этих точках тоже принадлежит ему. Выпуклый многогранник располагается по одну сторону от плоскости каждой своей грани (верно и обратное!). Известно, что проекция выпуклого многогранника на плоскость является выпуклым многоугольником, а также всякое сечение выпуклого многогранника (не являющееся точкой или прямой) некоторой плоскостью будет выпуклым многоугольником. Для выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера
B - P + Г = 2,

где В – число вершин, Р – число ребер и Г – число граней многогранника.

Проверьте эту формулу на известных Вам многогранниках. Справедлива ли она для многогранника, являющегося кубом, у которого изнутри удален маленький кубик?

Упражнение 7.0.1.

      В выпуклом многограннике каждая грань является n-угольником и из каждой вершины выходит m ребер. Доказать, что m Ј 5 и n Ј 5.

     Указание. Используйте формулу Эйлера и равенства nГ = mB = 2P (которые необходимо обосновать!).

      Выпуклый многогранник называют правильным, если все его грани являются равными друг другу правильными многоугольниками и из каждой вершины выходит одинаковое число ребер. Оказывается, что у правильного многогранника все двугранные углы тоже равны и с точностью до подобия существует всего пять правильных многогранников: правильный тетраэдр (четыре грани – треугольники, рис. 1), куб или гексаэдр (шесть граней – квадраты, рис. 2), правильный октаэдр (восемь граней – треугольники, рис. 3), додекаэдр (двенадцать граней – пятиугольники, рис. 4) и икосаэдр (двадцать граней – треугольники, рис. 5):
 
 
         Рис. 1.		  
       Рис. 2.		  
           Рис. 3.
 
 
            Рис. 4.		  
           Рис. 5.
Упражнение 7.0.2.

      Используя формулу Эйлера и рассуждения при доказательстве предыдущего упражнения, попытайтесь обосновать, что число граней у правильного многогранника может быть равно только одному из чисел: 4, 6, 8, 12 или 20.

      Перейдем к рассмотрению многогранников, наиболее часто встречающихся на вступительных экзаменах по математике: призмам, пирамидам и усеченным пирамидам.


 ВПЕРЕД  |  НАЗАД  |  ГЛАВНАЯ  |  ПЛАНИМЕТРИЯ  |  СТЕРЕОМЕТРИЯ