6.8

ВПЕРЕД | НАЗАД | ГЛАВНАЯ | ПЛАНИМЕТРИЯ | СТЕРЕОМЕТРИЯ

6.8. Многоугольники

@ Согласно школьному курсу математики под n - угольником понимают n - звенную замкнутую ломаную либо часть плоскости, ограниченной такой ломаной. Вершины и звенья ломаной называют соответственно вершинами и сторонами многоугольника. Для определенности в дальнейшем мы будем рассматривать многоугольник как часть плоскости.

Многоугольник (и вообще любую фигуру) называют выпуклым, если для любых его двух точек отрезок с концами в этих точках полностью принадлежит многоугольнику (фигуре). В частности, треугольник и круг – выпуклые фигуры, а граница треугольника (трехзвенная замкнутая ломаная) и окружность – невыпуклые фигуры.
Многоугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда все его внутренние углы меньше 180° (см. рисунок). Выпуклый многоугольник всегда расположен в одной полуплоскости относительно каждой прямой, проходящей через его сторону. Имеются полезные утверждения, которые справедливы для многоугольников независимо от того, выпуклы они или нет:

1. Сумма внутренних углов n-угольника (n і 3) равна 180° (n - 2).
2. n-угольник (n і 4) имеет ровно диагоналей (под диагональю многоугольника понимают отрезок, соединяющий любые его две несмежные вершины).

3. Если и – длины диагоналей четырехугольника, а a – угол между прямыми, проходящими через эти диагонали, то площадь четырехугольника равна .
4. Если прямые, содержащие диагонали четырехугольника, перпендикулярны, то суммы квадратов его противоположных сторон равны.

Попробуйте доказать первое из этих утверждений хотя бы для невыпуклых 4- и 5- угольников, второе – для любых многоугольников, третье – для невыпуклого четырехугольника, а четвертое – для любого четырехугольника.

Пример 6.8.1.

Внутренние углы многоугольника образуют геометрическую прогрессию Определить наибольшее возможное число диагоналей такого многоугольника.

Решение

В таком n - угольнике сумма внутренних углов равна 180° (n - 2), а с другой стороны, как сумма членов геометрической прогрессии равна . Откуда находим .
Так как наибольший угол должен быть меньше 180° , то имеем . Приходим к неравенству , которое после преобразований принимает вид

или

Замечаем, что при n і 6 имеем , а значит, n Ј 5.
Легко проверить, что n = 5 соответствует условию (существует пятиугольник, у которого a° = (540/31)° ). При n = 5 находим количество диагоналей .

Ответ: 5.
@ Интересным и полезным является следующее соображение: четырехугольник, вершины которого являются серединами сторон данного четырехугольника, будет параллелограммом с площадью вдвое меньшей площади данного четырехугольника.

Действительно, независимо от того, выпуклый или невыпуклый данный четырехугольник ABCD (см. рисунок), KL и NM – средние линии треугольников ABC и ADC, а значит, они равны половине АС и параллельны прямой АС. Откуда следует, что KLMN – параллелограмм.
Аналогично можно показать, что KN = LM = 1/2 BD, KN ззBD и LM ззBD. Площадь параллелограмма равна произведению длин его сторон на синус угла между ними, т.е. .
Учитывая, что KL = 1/2 AC, KN = 1/2 BD и sin РLKN = sin РAOB (углы LKN и AOB являются углами с взаимно параллельными сторонами), получаем
,

(воспользовались утверждением 3 в начале этого параграфа).

Пример 6.8.2. (КубГУ, эконом., 1994 г.)

Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны 4 см и 6 см, одна из его диагоналей равна 8 см. Вычислить площадь четырехугольника.

Решение

Пусть KN = 4, LN = 6 и AC = 8. Тогда

как средняя линия треугольника ABC. Если O – точка пересечения KM и LN, то в силу ранее отмеченного, что KLMN – параллелограмм, находим

.
Ясно, что площадь параллелограмма KLMN в четыре раза больше площади треугольника KOL (покажите самостоятельно!), а площадь четырехугольника ABCD ввиду ранее отмеченного вдвое больше площади параллелограмма KLMN, т.е.

По формуле Герона находим

, и поэтому

(см

).
Ответ:

см

Теперь приведем пример решения задачи с использованием утверждения 4 в начале этого параграфа.

Пример 6.8.3.

Сторона AB четырехугольника ABCD равна 9, другие стороны тоже измеряются натуральными числами. Найти остальные стороны четырехугольника, если известно, что его диагонали AC и BD перпендикулярны и – простое число.

Решение

Так как диагонали перпендикулярны, то согласно утверждению 4 имеем (это равенство получите самостоятельно по теореме Пифагора независимо от того, выпуклый или невыпуклый четырехугольник ABCD). Откуда следует – простое число. Это возможно лишь в случае, когда AB - BC = 1, AB + BC = p, AD - CD = 1 и AD + CD = p. Учитывая, что AB = 9, находим BC = 8 и p = 17, а значит, AD = 9 и CD = 8.

Ответ: AD = 9 , BC = CD = 8.

@ Для решения задач на многоугольники полезно выучить и уметь объяснять следующие простейшие соотношения, многие из которых мы уже ранее использовали.

Параллелограмм

AB ззCD и AB = CD; AO = OC и O – центр симметрии;
DABC = DCDA и DAOB = DCOD;

;

= AB Ч AD Ч sin РBAD =

Если AB = AD, то ABCD – ромб, AC ^BD и .

Если РBAD = 90°, то ABCD – прямоугольник и .

Если AB = AD и РBAD = 90°, то ABCD – квадрат и обладает всеми свойствами ромба и прямоугольника.

Трапеция

Здесь AD > BC и AD, BC – основания, AD ззBC и AB ззCD , KL – средняя линия и ;

;

, и ; DAOD подобен DCOB с коэффициентом подобия , CO = k ЧAO, OB = k ЧOD и .

Если AP и BP – биссектрисы углов A и B, то РAPB = 90° и точка P лежит на прямой KL (см. рассуждения ниже в начале решения примера 6.8.4).

Если AB = CD, то ABCD – равнобедренная трапеция и , а если к тому же AC ^BD, то .

Правильные n - угольники

@ Все стороны равны и все углы равны; можно вписать и описать окружности, причем их центры совпадают (точка O).
Если R и r – соответственно радиусы вписанной и описанной окружности, то

;

и ;
при n=6 имеем

Пример 6.8.4. (КубГУ, физич., 1993 г.)

В параллелограмме со сторонами a и b и углом a проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами.

Решение

Сначала рассмотрим некоторую конфигурацию, состоящую из прямых (см. рисунок), на которой BP ззAT, BT и AP – биссектрисы углов ABP и BAT, К – точка пересечения этих биссектрис.

Так как РBAP = РPAT и РPAT = РBAP (внутренние накрест лежащие углы), то DABP – равнобедренный и AP = BP.

Аналогично устанавливаем, что AB = AT, а значит, ABPT – ромб и К – его точка симметрии.

В частности, прямая, проходящая через К параллельно АТ, делит любой отрезок, заключенный между прямыми АТ и ВP, пополам.

Заметим, что для решения задачи мы могли обойтись без этой конфигурации и выбрать путь полегче. Однако проведенные рассуждения полезны тем, что объясняют одно из ранее указанных простейших свойств трапеции.

Теперь перейдем к решению задачи. Тривиальные ситуации, когда все биссектрисы пересекутся в одной точке либо две точки пересечения биссектрис лежат на сторонах параллелограмма, исключим из рассмотрения. Возможны две ситуации (см. рисунок).

Для определенности положим AB = a, BC = b ( b > a), РBAD = a. Из ранее рассмотренной конфигурации прямых для наших рисунков можем сделать следующие выводы: AB = BP = AT = a и аналогично CQ = CD = DR = a, AP ^BT и аналогично CR ^DQ, т.е. KLMN – прямоугольник и .

Ясно, что РBPA = РLPQ = a/2, QP = 2a - b для верхнего рисунка и QP = b - 2a для нижнего.

Для верхнего рисунка имеем KL = KP - PL = BP cos РBPA - QP cosРLPQ =

а для нижнего – KL = KP + PL = BP cos РBPA + QP cosРLPQ =

Таким образом, в обоих случаях нашли

.
Аналогично, замечая, что

, в обоих случаях найдем

. Откуда окончательно получаем

. Теперь заметим, что при b = a биссектрисы пересекаются в одной точке (получается вырожденный четырехугольник). Если считать a > b, то ответ не изменится, а если вместо a подставить в ответ p - a, то получим равное число для площади четырехугольника (это говорит о том, что если бы в качестве a мы взяли тупой угол ABC, то все равно имели бы такой же ответ).

Ответ: .

Теперь приведем одну задачу о правильных многоугольниках, уже не раз встречавшуюся на устных и письменных экзаменах по математике в КубГУ.

Пример 6.8.5.

В круг радиуса R вписан правильный n - угольник, в этот n - угольник вписан другой круг, в который опять вписан другой правильный n - угольник и так до бесконечности. Найти сумму площадей всех указанных n - угольников.

Решение

Заметим, что каждый последующий многоугольник подобен предыдущему с коэффициентом подобия , где R и r – соответственно радиусы описанной и вписанной окружностей в предыдущий многоугольник.
Откуда, ввиду (см. формулы для правильного n - угольника), находим коэффициент подобия .
Тогда, если – площади первого, второго, ... многоугольников, то

... Замечаем бесконечно убывающую прогрессию со знаменателем

Найдем сумму членов этой прогрессии

Ответ: .

По видимому, наиболее часто встречающимся многоугольником в заданиях вступительных экзаменов является трапеция. Сначала приведем одну известную задачу из золотого фонда геометрии о трапеции.

Пример 6.8.6.

Доказать, что прямая, проходящая через точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции и через точку пересечения ее диагоналей, делит каждое основание этой трапеции пополам.

Решение

Положим BM = x и CM = y. Из параллельности прямых AD и BC легко получаем подобные треугольники. DBKM подобен DAKN и DCKM подобен DDKN с одним и тем же коэффициентом подобия

, т.е. AN = k ЧBM = kx и DN = k ЧCM = ky.
Далее, DBOC подобен DDOA с коэффициентом подобия

. Но DBOM подобен DDON и DBOC подобен DDOA с одним и тем же коэффициентом подобия

, а значит,

Из равенства

имеем x = y, а значит, BM = CM и AN = DN. Что и требовалось доказать.

@ При решении задач на трапецию, в которых идет речь об ее диагоналях, иногда помогает следующее дополнительное построение.

Достроим к трапеции ABCD параллелограмм BCMD (см. рисунок). Тогда треугольник ACM имеет боковые стороны, равные диагоналям трапеции; основание, равное сумме оснований трапеции; угол при вершине, равный углу между диагоналями трапеции; площадь, равную площади трапеции.

Попробуйте самостоятельно объяснить эти утверждения.