З а д а ч а 9

Краткая справка

Задача № 9. Условный экстремум функции.

Функция имеет условный максимум (минимум) в точке если существует такая окрестность точки для всех точек которой, удовлетворяющих уравнениям связи выполняется неравенство .

Исследование функции на условный экстремум сводят к исследованию на обычный экстремум функции Лагранжа

Константы называют множителями Лагранжа.

Необходимые условия условного экстремума выражаются системой

Решение системы даёт координаты точки (или системы точек), в которой возможен условный экстремум.

Достаточные условия условного экстремума вытекают из исследования на знак при условии, что дифференциалы удовлетворяют уравнениям

Точнее говоря, функция имеет условный максимум (минимум) в точке , если для всевозможных наборов , удовлетворяющих (10.2), выполняется неравенство

Пример решений

Пример9.1 Найти условный экстремум функции z = 2x + 3y, при условии

Решение: Составим функцию Лагранжа

Имеем

Система имеет два решения

Далее

При поэтому функция z = 2x + 3y в точке имеет условный минимум, а при следовательно функция z = 2x + 3y имеет в точке условный максимум.

Пример 9.2. Найти условные экстремумы функции при наличии ограничения

Решение: Построим функцию Лагранжа

Стационарные точки определим из системы

Умножим первое уравнение на x, а второе - на y. После вычисления получим

Если , то из первых двух уравнений системы x = y = 0.

Но такие значения переменных x и y не удовлетворяют уравнению связи. Значит , и так как то из (10.3) имеем x = y. Подставляя это в уравнение связи, получаем откуда x = y = 1. Таким образом, из Итак, единственная стационарная точка функции Лагранжа.

Далее,

Тогда для при

получаем

Из уравнения связи при x = y находим соотношение для дифференциалов dx и dy, dx + dy = 0.

Подставляя dy = - dx в (10.4), получаем равенство

Поэтому при a > 0 в точке функция имеет условный максимум, а при a < 0 – условный минимум. Экстремальное значение равно

К началу страницы