З а д а ч а 8

Краткая справка

Задача № 8. Локальный экстремум функции нескольких переменных.

Функция u = f(M) имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , для всех точек которой, отличных от ,выполняется неравенство

Необходимое условие экстремума:

Если дифференцируемая функция u = f(M) достигает экстремума в точке , то

Точки, в которых выполняется (9.2), называют стационарными.

Достаточное условие экстремума:

Пусть - стационарная точка функции. Предположим, что функция u = f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности и - значение второго дифференциала в точке , то есть

Легко заметить, что является квадратичной формой относительно

Тогда:

1. Если , как функция имеет постоянный знак при всевозможных наборах значений не равных нулю одновременно, то функция имеет в точке экстремум, а именно максимум, при и минимум при

2. Если является знакопеременной функцией то есть принимает как положительные так и отрицательные значения, то точка не является точкой экстремума.

3. Если или , причём существуют такие при которых то функция u = f(M) в точке может иметь экстремум, а может и не иметь. В этом случае можно провести дополнительное исследование.

Что бы выяснить будет ли квадратичная форма

знакопостоянной, применяют критерий Сильвестра.

Положим,

1. Для того, чтобы была знакоположительна, то есть при любых наборах необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства

2. Для того, чтобы была знакоотрицательна, то есть при любых наборах необходимо и достаточно, чтобы знаки чисел чередовались, причём т.е.

Применим критерий Сильвестра для случая функции двух переменных z = f(x, y). Положим

Тогда:

1. Если > 0, то функция z = f(x, y) имеет в точке экстремум, а именно максимум при A < 0 (C < 0) и минимум при A > 0 (C > 0).

2. Если < 0, то функция z = f(x, y) в точке экстремума не имеет.

3. Если = 0, то для решения вопроса об экстремуме в точке требуется дополнительное исследование.

Пример решений

Пример 8.1. Исследовать на экстремум функции

Решение. а) Определим стационарные точки из системы

Откуда имеем единственную стационарную точку: х = - 1, у = - 2, z = 3. Воспользуемся достаточным условием

Таким образом,

то есть, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно определённую квадратичную форму. Следовательно, в точке функция имеет минимум.

б) Находим,

Стационарные точки определяются из системы

Она имеет три решения Для применения достаточных условий локального экстремума вычислим вторые производные

Составим выражение В точке следовательно, необходимы дополнительные исследования.

Рассмотрим z(0, 0) = z(h, k) - z(0, 0).

При имеем

При имеем

Таким образом, приращение z(0, 0) принимает значения разных знаков, а поэтому в точке экстремума нет.

Далее в точках и так как то в этих точках достигается минимум, причём

Пример 8.2. На плоскости даны n точек в которых сосредоточенны массы Требуется найти на этой плоскости точку такую относительно которой момент инерции указанной системы материальных точек минимален.

Решение. Момент инерции относительно точек равен

Таким образом, задача сводится к отысканию точки в которой функция I(x, y) достигает своего минимума.

Имеем

откуда единственной стационарной точкой будет точка с координатами

Далее, так как

и значит функция I(x, y) имеет в точке локальный минимум.

Нетрудно увидеть, что значение функции I(x, y) в этой точке является минимальным.

К началу страницы