З а д а ч а 4
Задача № 4. Дифференцирование сложных функций.
Пусть z = f(x, y) - функция двух переменных x и y каждая из которых, в свою очередь, является функцией независимой переменной t, то есть x=j (t),y=y (t). Тогда z=[j (t), y (t)] есть сложная функция независимой переменной t. Если j (t) и y (t) дифференцируемы в точке t, а функция z = f(x, y) дифференцируема в точке (x, y), то сложная функция z=[j (t), y (t)] также дифференцируема в точке t, причём
Аналогично для функции u = f(x, y, z), x = x(t), y = y(t), z = z(t),
Пример 4.1.
Решение. Используя (5.1), получаем
Таким образом,
Заметим,
что 
можно получить
другим способом: сначала выразить z
явно
через t и затем
дифференцировать по t.
Пусть теперь z = f(u, v) функция двух переменных u и v, причём u = j (x, y), v = = y (x, y).
В этом случае имеют место формулы
Пример 4.2. Пусть
Найти 
Решение. Применительно к условию примера соотношения (5.2) примут вид
В общем
случае, при дифференцируемости
функции 
п переменных,
каждая из которых является
дифференцируемой функцией т переменных
,
имеют место формулы