З а д а ч а 2

Задача № 2. Дана функция:

.

Найти: 1) полные дифференциалы первого и второго порядков; 2) частные производные первого и второго порядков:

Решение: Задачу можно решить двумя способами:

1) Непосредственно найти dz и d?z и воспользоваться следующими соотношениями для дважды дифференцируемых функций:

Таким образом,

то есть

Далее,

2) Найдём частные производные и воспользуемся соотношениями (2.1). Имеем, считая y постоянной:

Аналогично, считая x постоянной

Теперь из (2.2) следует, что

а из (2.3)

Отметим, что в силу теоремы о равенстве смешанных производных у дважды дифференцируемых функций достаточно было бы найти или или .Учитывая (2.1) получаем:

Вернуться