З а д а ч а 10
Задача № 10. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в области:
Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции необходимо найти стационарные точки внутри области, вычислить значения функции в этих точках и сравнить с верхней и нижней гранью на границе области.
Пример.
Решение:
Функция z непрерывна в
замкнутом круге 
Поэтому,
согласно известной теореме
Вейерштрасса, она на этом множестве
достигает своей верхней и нижней
грани. Очевидно, верхняя грань –
это наибольшее значение функции, а
нижняя грань – наименьшее.
Система
имеет
решение x = 4,
y = 6 и так как 16 +
36 = 52 > 16, в круге 
решений нет. Поэтому
экстремум достигается на границе
круга 
Составим функцию Лагранжа
Для определения точек локального экстремума функции Лагранжа решим систему уравнений
Итак, находим две точки возможного экстремума
Вычислим значения функции в этих точках
Следовательно,
