Задача № 9 Приближенные решения уравнений (Метод итераций)
Используется для нахождения приближенных значений корня с большой степенью точности.
Пусть уравнение f(x) =0 имеет на отрезке [a;b] корень x. Построим итерационную последовательность xn стремящемся к x. Для этого подбирают уравнение x=f(x) равносильное исходному на [a;b] и значение x0 из [a;b] так, чтобы была определена и сходилась к корню x последовательность xn+1=f(xn), где n из N. Сформулируем достаточные условия сходимости последовательности xn: Пусть функция f(x) дифференцируема на [a;b] и |f'(x)|<=k<1, x из [a;b]
Пусть x0 из [a;b], xn+1=f(xn) из [a;b], при n из N. Тогда уравнение x=f(x) имеет на [a;b] единственный корень x и lim xn=x при n стремящемся к бесконечности
Для оценки погрешности используют неравенство:
|x-xn|<=k/(1-k)|xn-xn-1|, при n из N
Для оценки числа n итераций можно использовать формулу:
|x-xn|<=kn/(1-k)|x-1|, при n из N
При заданной погрешности A процесс итерации продолжают до получения оценки:
|xn-xn-1|<=D(1-k)/k, тогда |x-xn|<=D
Назад