Пример 2.7.9. Решить уравнение

Переходя к новому основанию логарифмов, например, 3 (хотя, заманчивым кажется в роли нового основания и само неизвестное x, но об этом сделаем особое замечание в конце решения), имеем

.

уравнения y₁ = 0, y₂ = –2 позволяют выписать и решения исходного уравнения x₁ = 1, x₂ = 1/9.

Что касается перехода к новому основанию, содержащему неизвестное, то этого лучше не делать, так как каждый раз приходится следить за тем, при каких x преобразование возможно, проверяя при этом непосредственной подстановкой в исходное уравнение те значения x, при которых основание логарифмов отрицательно или равно 1. В данном случае, переходя к новому основанию x, мы вынуждены запретить неизвестному быть равным 1, хотя по условию этого запрета нет, и более того, x = 1 является очевидным решением исходного уравнения. И, чтобы не потерять это решение, мы, установив факт, что x = 1 является решением исходного уравнения, ищем другие решения, отличные от x = 1. Тогда потери решения не произойдет и оставшееся решение x = 1/9 будет найдено обычным способом из уравнения