Пример 2.2. Найти все значения параметр а, квадратное уравнение

(a – 2)x2 – 2ax + 2a – 3 = 0

имеет два различных положительных корня.

Решение: Для того чтобы оба корня квадратного трехчлена ax2 + bx + c были больше 0 (т.е. лежали на числовой оси правее 0), необходимо и достаточно выполнение условий:

или

 

В данном случае эти условия имеют вид (с учетом того, что D > 0, когда a < 1 или a > 6)

или

Откуда получаем:

a > 6

или

a < 0

Самостоятельно разберите ситуации когда:

  1. оба корня отрицательны

  2. один отрицательный, а другой положительный

  3. корни лежат на промежутке [–2;4].

 

Задачи для самостоятельного решения

 

Условие

Ответ

1.

Не решая квадратного уравнения, определить знаки его корней

3x2 + 12x – 4 = 0

Корни разных знаков

9x2 – 16x + 1 = 0

Оба положительны

3x2 + 8x + 4 = 0

Оба корня отрицательны

2.

Найти все значения a, для которых уравнение x2 – 2(a – 1)x + (2a + 1) = 0 имеет два положительных корня.

3.

При каких значениях параметра а корни уравнения x2 – 2(а – 1)х + 2а + 1 = 0 имеют разные знаки и по абсолютной величине меньше 4.

4.

При каких значениях параметра а корни уравнения ax2 – (2a + 1)x + 3a – 1 = 0 больше 1?