ПРИМЕР 7.3.1. Решить уравнение

5sin2x-5cos2x=tgx+5

Решение: Применив формулы

 

Представим заданное уравнение в виде

 

Обозначив tg x = t, запишем

 

После приведения к общему знаменателю и несложных преобразований придем к уравнению t3 – 9 t + 10 = 0. Один из делителей свободного члена, а именно t1=2, является корнем этого уравнения. Разложив левую часть на множители, получим (t - 2) (t2 + 2t - 5) = 0. Решив квадратное уравнение t2+2t-5=0, найдем еще два значения t2=√ 6-1, t3=-√6-1.

Т.об. исходное уравнение равносильно совокупности трех уравнений

 

tgx = 2 x1 = arctg2+p n

tgx = √ 6-1 ⇒ x2 = arctg(√ 6-1)+π n, n∈ Z

tgx = -√ 6-1 x3 = - arctg(√ 6+1)+π n

 

ОТВЕТ: arctg2+π n; arctg(√ 6-1)+π n; - arctg(√ 6+1)+π n, n∈ Z.

Список тригонометрических формул  Содержание раздела