Пример 4.1.6. (КубГУ, матем., 1990 г.) Мотоциклист, велосипедист и пешеход движутся по шоссе с постоянными скоростями в одну сторону. В 12 часов мотоциклист отставал от велосипедиста на расстояние в 3 раза меньшее, чем расстояние, на которое отставал велосипедист от пешехода. В 12 часов 15 минут мотоциклист догнал велосипедиста, а в 12 часов 40 минут – пешехода. Какое время будут показывать часы, когда велосипедист догонит пешехода?

Решение: 1–й способ. Обозначим через V1, V2, V3 скорости мотоциклиста, велосипедиста и пешехода соответственно, а расстояние между мотоциклистом и велосипедистом в 12 часов дня через S.

В 12часов расположены следующим образом

В 12ч 15 мин мотоциклист догнал велосипедиста.

В 12ч 40 мин мотоциклист догнал пешехода

Пусть t время с начала движения, через которое велосипедист догнал пешехода.

 

Таким образом, приходим к системе уравнений

Условия задачи

Уравнения

В 12 часов 15 минут мотоциклист догнал велосипедиста.

В 12 часов 40 минут мотоциклист догнал пешехода.

Через время t велосипедист догнал пешехода.

2–й способ. Рассмотрим графическую модель задачи в системе координат: ось абсцисс – “время” t в часах, ось ординат – координата движения x(t). Так как движение равномерное, то графики зависимости координаты движения от времен для пешехода, велосипедиста и мотоциклиста являются прямыми с разными угловыми коэффициентами (в нашей интерпретации угловые коэффициенты и будут скоростями движения).

OK – график движения мотоциклиста, AM – график движения велосипедиста, BM – график движения пешехода

Заметим, что

подобен

, откуда

(OS и SN – высоты

).

Однако

, т.е.

.

Далее,

подобен

. Следовательно,

Откуда, учитывая, что

,

,

,

получаем

,

и тогда

.

Таким образом, в момент встречи часы показывали 13 часов 30 минут.

Ответ: 13 часов 30 минут.