Пример 4.4.3. (КубГУ, эконом., 1993 г.) Как набрать сумму 146 руб. из 20 купюр достоинством 1, 3, 5, 10 рублей, если число “пятирублевок” больше числа “трехрублевок” и не больше “десятирублевок” (предполагается, что в набираемой сумме должны присутствовать купюры всех достоинств).

Решение: Пусть x, y, z, t – число купюр достоинством 1, 3, 5, 10 рублей соответственно.

Тогда

, и имеет место система

Вычитая из второго уравнения системы первое, получим

, (2)

откуда видим, что t– четное число. С другой стороны, применяя неравенство системы к уравнению (2)

и учитывая, что,

получаем

.

Таким образом,

. И т.к. t– целое, четное, то возможны лишь два случая t=10,12.

При

система (1) принимает вид

Откуда, также как и выше, получаем

Следовательно, y – четное и z > 6, а y < 6, т.е. для y возможны лишь два случая y = 2, y = 4.

При y = 2 из уравнения y + 2z = 18 вытекает z = 8, что невозможно, т.к. y + z должно быть меньше 10.

При y = 4 получаем z = 7 , что невозможно, т.к. y + z должно быть меньше 10.

Исследуем случай t = 12 . Имеем из системы (1)

.

Откуда видно, что y – нечетное, причем

,

т.е. y < 3 и, значит, y = 1, но тогда z = 4, а x = 3.

Ответ: купюр по 1 рублю – 3, по 3 рубля – 1,