Пример 1. Решить систему уравнений

Решение: Рассмотрим три способа решения этой системы.

а) Выразим из любого уравнения одно из неизвестных, например, y, из второго уравнения y= - 2x и подставим его в первое уравнение:

2x-3(-2x)= 8 или 8x= 8, откуда получаем x= 1. А значение второго неизвестного получим из соотношения y= -2x, т.е. y= -2.

Ответ: (1;-2).

b) Умножая обе части первого уравнения на (-2) и складывая его со вторым уравнением, получим следующее уравнение

(-4x+4x)+(6y+2y)= -16 или 8y= -16, т.е. y= -2.

Другое неизвестное можно найти из любого уравнения исходной системы, подставив в него значение

y= -2.

Ответ: (1;-2).

Мы применили метод алгебраического сложения двух уравнений с целью избавления от одного из неизвестных, предварительно умножив одно из уравнений на подходящий множитель (в силу этих соображений иногда этот метод называют методом “выравнивания коэффициентов” при одном из неизвестных с дальнейшим вычитанием одного уравнения из другого).

с) Решим эту систему с помощью определителей. Вычислим эти определители

Тогда

Ответ: (1;-2).

Рассмотрим еще один метод решения линейных систем – метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса), приводящий систему уравнений к треугольному (трапецеидальному) виду. Этот метод успешно может быть применен к решению линейных систем с любым числом уравнений и неизвестных.

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение: Решаем эту систему методом Гаусса. Привести эту систему к треугольному (трапецеидальному) виду означает, что во втором уравнении не должно быть первого неизвестного (или иметь при нем нулевой коэффициент), а в третьем – первого и второго неизвестного. Тогда из последнего уравнения находится третье неизвестное, а подставляя его значение во второе уравнение системы, найдем второе неизвестное. Первое неизвестное находится из первого уравнения системы, куда предварительно подставлены найденные значения двух других.

Сначала умножим первое уравнение системы на (-2) и сложим его со вторым уравнением, а к третьему уравнению добавим первое, умноженное на (-3), в результате чего получим систему

Теперь умножим второе уравнение на 5, а третье – на (-7) (уравниваем коэффициенты при неизвестном y) и сложим после этого последние два уравнения (первое и второе уравнение переписываем, а на месте третьего уравнения запишем результат сложения уравнений с выровненными коэффициентами при неизвестном y).

Из последнего уравнения находим z=2, подставим его во второе уравнение системы и найдем y= -2. Подставляя эти значения неизвестных в первое уравнение, находим x= 1.

Ответ: (1;-2;2).

Пример 3. Решить систему уравнений

Решение: Приведем эту систему к треугольному (трапецеидальному) виду

или

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. В этом случае одно из двух неизвестных второго уравнения выражают через другое (“свободное” неизвестное) и подставляют в первое уравнение, из которого выражают первое неизвестное через это же “свободное” неизвестное.

Пусть во втором уравнении “свободным” неизвестным будет z.

Тогда

а первое уравнение перепишем при этом

условии и найдем выражение для x:

Решения исходной системы (бесконечное множество) могут быть записаны в этом случае так

z= k, где k – любое действительное число.

Например, при k= -5 получим x= 5, а y= 3; а при k= 2 получаем следующий набор чисел (1;-2;2) и т.д.

Ответ:

Пример 4. Решить систему уравнений

Решение: Как и в предыдущих примерах, приведем эту систему к треугольному (трапецеидальному) виду

Очевидно, что последние два уравнения противоречивы, а тогда система – несовместна ( не имеет решений).

Ответ: система не имеет решения.