350088 г

350088 г. Краснодар
ул. Сормовская, 203
Центр дополнительного
образования
тел. (8612) 32-99-04
Составитель: доцент кафедры теории функций КубГУ Тлюстен С.Р.
методист ЦДО Шелег Т.А.

ЗАОЧНАЯ ШКОЛА
ПО МАТЕМАТИКЕ
1998 - 1999 уч.г.
10 класс, 1 часть.
Краткие решения и ответы.

Пусть О - точка пересечения отрезков АС и ВD. Поскольку AF || BO, AO || FB, то треугольники АВО и АВF равны (, AB - общая сторона). Следовательно, =

Аналогично, =; =; =.

Поэтому = + + + = 2(+ + + ) = .

Прямоугольник B₁B₂B₃B₄ получен из восьмиугольника А₁...А₈ удалением треугольников А₂А₃А₄ и А₆А₇А₈ и добавлением затем треугольников А₁В₁А₂, А₄В₂А₅, А₅В₃А₆, А₈В₄А₁ (см. рис 1). Используя правильность нашего восьмиугольника, легко видеть, что треугольники А₂А₃А₄ и А₆А₇А₈ равны и каждый из них можно разрезать на два треугольника, равных добавляемым. Следовательно, = , == , что и требовалось доказать.

По формуле (1) = , где - длина высоты в KCD, опущенной из вершины К. Согласно примеру 2 =. Следовательно, :

=1:2.

Пусть О - точка пересечения диагоналей в ABCD, BB’^ AC, DD’^ AC (рис. 2.). Допустим сначала, что ВО=ОD. Тогда прямоугольные треугольники BOB’ и DOD’ равны (ВО=OD, BB’ =DD’, Ð BOB’ =Ð DOD’). Следовательно, = ВВ’ = DD’ =

Допустим теперь, что = . Из формулы (1) получаем, что тогда ВВ’ = DD’. Теперь прямоугольные треугольники BOB’ и DOD’ равны по катету и острому углу и, следовательно, OB=OD.

Из учебника геометрии известно, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда обе его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Примените теперь задачу 4.

Пусть О - произвольная точка внутри параллелограмма ABCD (рис. 3). Проведем через точку О перпендикуляр MN к ВС. Тогда + = + = (OM+ON) = = , что и требовалось.

Пусть Р - произвольная точка внутри ABCDE. Обозначим через h₁, h₂, h₃, h₄, h₅ расстояния от Р до прямых АВ, ВС, СD, DE, EA соответственно. Тогда, поскольку площадь ABCDE равна сумме площадей пяти треугольников PAB, PBC, PCD, PDE, PAE, то, обозначив через а длину стороны в ABCDE, имеем =+ + + + . Таким образом, независимо от выбора Р, получаем: h₁+h₂+h₃+h₄+h₅=

По свойству 5: = = ; = = ; = = ; = = . Следовательно, по свойству 1: = - = . = ---= = ; значит, = = .

По формуле (1) = = . А по формуле (2), учитывая, что Ð САL= Ð САК- Ð KAL= Ð BAL- Ð KAL= Ð KAB, то же отношение равно = .

По свойству 2 = = . Следовательно, = = ab. Согласно примеру 3, = . Но тогда = = и = + + + = a+b+2

Пусть BD и CE - медианы треугольника ABC (рис. 5), BD=m, CE=n, BD^ CE. По свойству 2 = 2= = = . Согласно следствию 2 СО= СЕ= n. Следовательно, = mn.

Согласно формуле (3), = = + = + . Так как любой отрезок короче ломаной, соединяющей его концы, то AD < DC+CA и BD+AD < BD+DC+CA= BC+CA. Аналогично, CD+AD < BC+AB. Следовательно, + < + = . Подставляя вместо + выражение через и сокращая, получаем: < +.

По свойству 4 :

=AK : CK. Отсюда все следует.

Применяя теорему 1 к точке Е внутри АВС (рис. 6), получаем КЕ : СЕ= :(2+1)= и СЕ= СК. Следовательно, = = = . Аналогично, = ; = . Таким образом, = ---= = .

По свойству 5 == = . Следовательно, = . Аналогично, = = = , = . Таким образом, = += +=

Пусть Р - середина ВС, Q - середина АD (рис. 7). Четырехугольник PCQA - параллелограмм. (AQ=PC, AQ || PC). Следовательно, KN || LM. Аналогично, MN || KL, и поэтому KLMN - параллелограмм. Треугольники QMD и BPK равны по стороне (BP= DQ== ) и двум углам. Следовательно, QM= PK. Поскольку отрезок QM проходит через середину AD и параллелен AN, то QM - средняя линия в AND и QM= . Аналогично, прямая DN содержит среднюю линию треугольника ABK и, следовательно, AN= KN. Таким образом, KN= AN= 2^.QM=2^.PK. То есть KN= . Отсюда сразу получаем, что = . Но, очевидно, = , значит, = =