= 
= 
. Следовательно, 
= , что и требовалось.§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА ПРИ РЕШЕНИИ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
Как вы заметили из формул (1)-(5), площадь треугольника довольно просто выражается через разнообразные комбинации элементов этого треугольника. Поэтому сравнение различных выражений для площади треугольника позволяет иногда решать задачи, на первый взгляд не связанные с понятием площади. Мы так уже поступали в примере 4. Приведем одно из доказательств следующего известного вам факта.
Пример 6. Доказать, что отношение длин отрезков, на которые биссектриса
AD треугольника ABC делит сторону BC, равно отношению AB:AC.Доказательство
. Рассмотрим отношение
:
. По свойству 2 имеем :=. С другой стороны, из формулы (2) получаем (Р BAD=Р CAD):
= = . Следовательно, = , что и требовалось.
Приведем еще примеры.
Теорема 1. Пусть в треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны соответственно точки D и E, а точка Р является точкой пересечения отрезков AE и CD (рис. 10). Если ВЕ:СЕ= a , ВD:AD= b , то 
= 
; 
= 
.
Доказательство
. Проведем отрезок BP. По свойству 2,
:
= BD:AD= b . Другими словами, 
= += 
+= 
. По свойству 4, 
:
= EB:EC= a . Значит, 
= a ; т.е. 
= . И по свойству 2, 
= = . Точно так же доказывается, что = .
Теорема 2
. (Теорема Чевы). Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC выбраны точки K, L и M соответственно так, что отрезки AL, BM и CK пересекаются в одной точке Р (рис. 11). Тогда
=1.
Доказательство
. По свойству 4
= 
; 
= 
; 
= 
. Перемножив эти три равенства, получим: = 
=1. Теорема доказана.
Справедливо и обратное к теореме Чевы утверждение:
Теорема 3. Пусть на сторонах
AB, BC и AC треугольника ABC выбраны точки K, L и M соответственно так, что=1. Тогда отрезки AL, BM и CK пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть
AL и BM пересекаются в некоторой точке Q. Допустим, что прямая CQ пересекает AB в точке N. Согласно теореме Чевы необходимо
=1. Но по условию теоремы =1. Следовательно, 
= 
и точка N совпадает с точкой К. То есть отрезок СК содержит точку Q. Теорема доказана.
На важность теоремы Чевы и обратной к ней указывают легко получающиеся из нее следствия.
Следствие 1. Высоты любого остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.
Доказательство. Пусть
AL, BM и СК - высоты остроугольного треугольника ABC. Тогда BL=
, CL=
, CM=
. Следовательно, = 
=1, и по теореме 3 отрезки AL, BM и CK пересекаются в одной точке.
Следствие 2. Медианы любого треугольника пересекаются в одной точке и каждая из них делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Доказательство. Пусть точки
K, L и M являются серединами сторон AB, BC и АС соответственно треугольника АВС. По теореме 3 отрезки AL, BM и CК пересекаются в одной точке Р. По свойствам 2 и 4 имеем
=
, 
=
= 
. Теперь, по свойству 2, РК:РС=:=1:2. Аналогично, ВР=2МР, РА=2LP, что и требовалось.
Замечание. Следствие 2 можно легко вывести также из теоремы 1.
Internet-school | Условия задач | Методические указания | Наши адреса | Правила оформления рукописей