Ответы и указания к зональной олимпиаде по математике
1995/96 учебный год
XI класс
1. Нельзя.
2. х1=х2=...=хn=0. Других решений нет.
3. Положим SАВЕ =а , SВСЕ =b , SСDЕ =с , SDAЕ =d. Из условий задачи имеем : . Отсюда получаем: (a-c)(a+b+c+d)=0, т.е. a = с .=k. .
4. Пусть данный треугольник АВС, B =200. Пристроим к нему с двух сторон
такие же треугольники А’BA и СВС’.
Тогда А’ВС’=600 и длина ЅА’C’Ѕ=b. Пусть А’C’ пересекается со
сторонами АВ и ВС в точках D и Е . Тогда ЅА’C’Ѕ= ЅA’DЅ+ +ЅDEЅ+ЅEC’Ѕ. Это
равенство превращается в требуемое соотношение ,
если в правую часть его подставить значения всех
слагаемых.
5. Наше неравенство равносильно такому: n>(1+1/n)n. При увеличении n левая часть неравенства возрастает, а правая ограничена. Дело в том, что если хn=(1+1/n)n+1 , то xn-1 /xn>1 в силу неравенства Бернулли: (1+a)n1+na и ясно, что (1+1/n)n<хn.