1997 - 1998 уч.г. 10 класс

1. Три друга гонят самогон, каждый своим аппаратом. У Труса течет жидкость крепостью "а" градусов, и стандартная бутыль наполняется за "а" часов; у Балбеса соответственно - "в" градусов и за "в" часов, у Бывалого - "с" градусов и за "с" часов. Для ускорения процесса друзья направили все шланги в одну бутыль и наполнили ее за сутки. Какова крепость смеси? (примечание: крепость - это процент содержания спирта).
2. Коэффициенты a ,b, c, d уравнения x⁴+ax³+bx²+cx+d=0 - действительные числа, по абсолютной величине не превосходящие 1997. Может ли данное уравнение иметь корень, больший 1998?
3. Докажите, что существует только одна прямая, которая проходит через точку с координатами (1997, 1998) и пересекает в двух точках каждую из парабол y=ax²+4ax+4a-1, где а - действительное число, отличное от нуля. Напишите уравнение этой прямой.
4. В остроугольном треугольнике АВС высота АН, наибольшая из высот, равна медиане ВМ. Докажите, что угол АВС меньше 60⁰.

2 день

5. Найти все натуральные n, при которых дробь равна натуральному числу.
1. На листе клетчатой бумаги нарисована окружность, внутри которой находится не менее одной клетки. Центр не задан. Одной линейкой построить центр.
2. Доказать, что для любых положительных чисел а, b, c справедливо неравенство .
3. Девять гирек расположены по кругу. Известно, что одна из них имеет массу 1г, а за ней последовательно по ходу часовой стрелки расположены гирьки массами 2г, 3г, ...,9г. Размеры гирек одинаковы, и других гирек нет. Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить гирьку массой 1г?