Ответы и указания к задачам краевой математической олимпиады 1996 года

Ответы и указания к задачам краевой математической олимпиады 1996 года

IX класс

1 день

1. Очевидно.

2. Имеем три ситуации:

1) 12, 12-х, 12-у;

2) 12+х, 12, 12+х-у;

3) 12+у, 12+у-х, 12.

Первая соответствует тому времени, когда Андрею было 12 лет; вторая - когда Василию было 12 лет, третья - когда Сергею стало 12 лет. Первый случай дает нам: х+у делится на 12; второй дает: 2х-у делится на 12. В третьем случае 2у-х=(х+у)-(2х-у).

Пусть дуга СВ равна 2a. Тогда дуга CD равна 2a и дуга DA равна 2a. Значит, отрезки ВС, CD и AD равны. При ВС параллельном AD имеем квадрат, а при ВС не параллельном AD - равнобедренную трапецию.

4. При 2n+1=m2, 37n+1=k2 имеем , где s+1=k. Отсюда легко увидеть, что искомое n получается при s=72, оно равно 144.

2 день

1. Пусть ВD - высота, МВ=х, MD=y. Тогда МК=, АМ=, MC=. Из условия задачи теперь следует, что х=.

2. Воспользоваться неравенством a2+b2+c2>ab+bc+ac.

3. Следует обратить внимание на то, что:

1) сумма абсолютных величин всех чисел, вписанных в таблицу, конечна.

2) одновременной сменой знаков у чисел, находящихся в столбцах или строках, можно добиться того, чтобы сумма S всех чисел новой таблицы была неотрицательной;

3) если какой-нибудь столбец (или строка) имеет отрицательную сумму, то одновременная смена знаков у всех его элементов приводит к возрастанию S.

4. Очевидно, r1=3, s1=2 являются решениями уравнения. a=3+2, , , , при этом rn и sn - возрастающие последовательности натуральных чисел. Но так как , то (rт, sт) - решение нашего уравнения.