Ответы и указания к задачам краевой математической олимпиады

1996 года

ХI класс

1 день

1.

2.

Для

известно, что

Для

имеем

но

Поэтому

и т.д.

  1. Пусть rn – конечная десятичная дробь и имеет s десятичных знаков после

запятой. Тогда

имеет sn таких знаков, а

имеет sn2 знаков и т.д. Таким путем получим, что у R будет snk десятичных

знаков после запятой. Однако

а это больше чем 1995, при

Следовательно s = 0, т.е. – целое число, а значит и R = 1995;

должен быть целым, но это не так.

4.

Т.к.

,

то

,

т.е.

.

2 день

1.

Решением неравенства будут все те х, для которых

,

т.е.

.

2.

AM – касательная к параболе в точке М; FM – луч, выходящий из F; МК – перпендикуляр из точки М на ось Ох. Введем обозначения: РOAM=a, РFMA=b, РMFK=g.

Но угол отражения равен углу падения, т.е. b. Т.к. оказалось, что

то отсюда следует, что отраженный луч будет горизонтальным.

3.

Пусть

Через точки M, P, Q

проведём окружность. Оказывается, что радиус ОМ будет к ней касательным.

Тогда

Итак,

4.

1) Пусть n = 2 и

Тогда положим

где

получим

т.е.

Надо доказать, что

Это неравенство равносильно такому:

Если учесть связь между x и y, то приходим к очевидному

.

2) Пусть имеем

тогда

Если

и

то по предыдущему

и окончательно получим

и т.д.

3) Если

, то положим

, где

. Тогда имеем