Ответы и указания к задачам краевой математической олимпиады 1996 года

Х класс

1 день

1.

2.

Надо показать, что существуют

такие, что

где x > 0, y > 0. При n – m > 0 полагаем

x = 3(n – m) и y = –2(n – m); при n – m < 0 полагаем x = (m – n)(3k – 2) и y = (m – n)(1 – 2k). При k = 5 имеем 11x + 16y = 51, при этом (x – y) – число шагов.

Так как

или, положив y = – s,

Теперь видим, что минимальное положительное s равно 3.

Ответ: min(x – y) = 12.

3.

Да. Например, при

Длина сети равна.

4.

После замены х на x/(x–1), получим

Учитывая исходное соотношение, найдём

 

2 день

1. Отрицательных корней нет.

  1. Пусть на сторонах АВ, ВС, CD и AD взяты точки K, L, M и N соответственно;

    2. пусть

    Тогда

    т.е.

    Но из соотношения между площадями и следует, что вычитаемое в квадратной скобке должно быть равным нулю, из чего следует требуемое утверждение.

    3.

    При nN индукцией по m покажем, что

    При m = 1 это очевидно. Пусть при m = k

    Рассмотрим

    т.к. числитель второго множителя – чётное число.

  2. Рассмотрим а величин равных 1/a, b величин равных 1/b, c величин

равных 1/c. Их среднее арифметическое равно

а среднее геометрическое этих же чисел равно

Известно, что

откуда следует требуемое.