ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И
НАУКИ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЦЕНТР ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
350088 г. Краснодар,
ул. Сормовская, 203, тел. 32-99-04

ЗОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
1998 - 1999 учебный год
9 класс задания
Председатель предметно-методической комиссии: доцент КубГУ Антонюк Г.К.

  1. Имеются два не являющихся квадратами прямоугольника, у которых стороны измеряются целыми числами сантиметров. У первого прямоугольника ширина равна 1997 см, а длина равна полупериметру второго прямоугольника. Найдите ширину (меньшую сторону) второго прямоугольника.

  2. Известно, что a+b+c>0; ab+ac+bc>0; abc>0. Докажите, что a>0, b>0, c>0.

  3. Пусть f(x) =ax3+bx2+cx+1 и пусть при всяком целом значении x целым будет и f(x). Следует ли из этого, что все коэффициенты a, b, c целые числа?

  4. Пусть АА1 и ВВ1 – высоты остроугольного треугольника АВС. Доказать, что треугольник A1B1C подобен треугольнику ABC.

  5. На плоскости даны 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что среди них есть четыре точки, которые являются вершинами выпуклого четырехугольника.