ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ И
НАУКИ АДМИНИСТРАЦИИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ
КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ЦЕНТР ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
350088 г. Краснодар,
ул. Сормовская, 203, тел. 32-99-04

ЗОНАЛЬНАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
1998 - 1999 учебный год
10 класс задания
Председатель предметно-методической комиссии: доцент КубГУ Антонюк Г.К.

  1. Разделить х59+х58+…+х+1 на х5+х4+…+х+1.

  2. Доказать, что система уравнений

    3. не имеет решений в натуральных числах.

  3. Квадратной решеткой на плоскости называется разбиения плоскости на квадраты двумя системами равностоящих параллельных прямых; вершины квадратов называются узлами решетки.

    4. Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах сетки?

  4. Натуральные числа a, b, c, d таковы, что ab=cd. Может ли число a+b+c+d , быть простым?

На плоскости даны 9 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что из них можно выбрать такие две четверки точек, что точки каждой из этих четверок являются вершинами двух выпуклых четырехугольников. При этом один четырехугольник содержит внутри себя второй четырехугольник.