ot11kld1

350088 г. Краснодар, ул. Сормовская 203 Центр дополнительного образования тел. (8612) 32-99-04 Председатель предметно-методической комиссии по математике, доцент КубГУ Антонюк Г.К.	КРАЕВАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
	1998-1999 уч.г. 11 класс, 1 день Ответы

Функции а^х и х+1 – возрастающие функции. Поэтому, если а^х= х+1, то ; если а^х> х+1, то ; если а^х< х+1, то .

Ответ: 1999:1998. Это легко следует из того, что будет нами доказано: диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Треугольники AKB и DKE равновелики (если К – точка пересечения диагоналей AD и BE), CLD и FLA тоже равновелики и EMF и BMC тоже равновелики (где L и M – соответствующие точки пересечения). Поэтому имеем три равенства: АК ^. ВК= DK ^. EK, CL ^. DL= FL ^. AL и EM ^.FM= BM ^. CM. Перемножив их, получим AK ^. BK ^. CL ^. DL ^. EM ^. FM = AL ^. BM ^. CM ^. DK ^. EK ^. FL. Это равенство противоречит рисунку, из которого видно, что каждый множитель в левой части меньше соответствующего множителя в правой части равенства.

Выигрывает первый игрок. Его стратегия: каждый раз выбирать для своего хода наименьшее из нечетных чисел, написанных на доске, а если таковых нет, то – произвольное четное число.

Пусть nОN и t=, тогда t + 1/t = n. Пусть =S_m, тогда = = и поэтому S_m+1 – натуральное число при любом m>2. Из равенства =S_m Ю . Видим, что (n, S_m) – решения нашего уравнения при любом n.