350088 г. Краснодар ул. Сормовская, 203
Центр дополнительного
образования
тел. (8612) 32-99-04
Председатель предметно-методической комиссии
по математике, доцент КубГу
Антонюк Г.К..

КРАЕВАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
1998 - 1999 уч.г.
11 класс, задания 2 день

1.Доказать, что тригонометрический многочлен a0+a1cosx+a2cos2x+...+ancosnx, где an > |a0|+|a1|+...+|an-1| имеет на промежутке [0; 2P] не менее 2n нулей.

2. Доказать неравенство a3 + b3 + c3 + 6abc і (1/4)(a + b + c)3, где a, b, c і 0.

3. На сторонах треугольника ABC как на основаниях построены подобные равнобедренные треугольники ABK, ACP и BCM, причем точки K и C лежат по разные стороны от прямой AB, P и B – по разные стороны от прямой AC , A и M – по одну сторону от прямой ВС. Доказать, что APMK – параллелограмм.

4. Не используя калькулятор, доказать неравенство cos1 < 2/P .