350088 г. Краснодар ул Сормовская, 203
Центр дополнительного
образования
тел. (8612) 32-99-04
Председатель предметно-методической комиссии
по математике, доцент КубГу
Антонюк Г.К..

КРАЕВАЯ ОЛИМПИАДА ПО МАТЕМАТИКЕ
1998 - 1999 уч.г.
11 класс, задания 1 день

1 .Показать, что уравнения ax = x и (a > 1) равносильны.

2. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF каждая из диагоналей AD, BE и CF делит его на два равновеликих четырехугольника. Известно, что прямая AD делит отрезок BE в отношении 1998 : 1999. В каком отношении эта прямая делит отрезок CF?

3. Два игрока играют в следующую игру: сначала на доске написаны числа 2, 4, 6, 8,…, 1998. За один ход можно уменьшить на 1 любое из написанных чисел. При этом с доски стираются нули и числа, совпадающие с каким-то из уже написанных на доске чисел. Проигрывает тот, после чьего хода на доске не останется ни одного числа. Кто выигрывает при правильной игре?

4.Пусть m - натуральное число, m і 2. Доказать, что уравнение

имеет бесконечно много решений в натуральных числах.