Условия задач типового расчета по теме:

Условия задач типового расчета по теме:
Непрерывные случайные величины, функции распределения, числовые характеристики случайных величин.

-------------------------------------------------------------------------------------------

Случайные величины|Содержание|Ответы

ЗАДАЧА N 1

Задана плотность распределения f(x) случайной величины X следующим образом:
f(x)=p(x), если x принадлежит отрезку [a,b] и
f(x)=0, если x не принадлежит [a,b].

Требуется: а) найти параметр H;
б) найти функцию распределения F(x) и построить её график;
в) найти вероятность попадания величины X на участок от a1 до b1;
г) определить характеристики случайной величины X:
математическое ожидание M, дисперсию D и
среднее квадратичное отклонение Mx.

1. p(x)=H*sin(8x), a= 4П/8, b= 5П/8, a1= 1.577, b1= 3.060;
2. p(x)=H*exp(2x), a=-3.6, b=0.5, a1=-2.93, b1=-0.14;
3. p(x)=H*cos(x/6), a=42П/2, b=54П/2, a1=71.097, b1=77.311;
4. p(x)=H*exp(5x), a=-3.2, b=-0.7, a1=-2.35, b1=-1.44;
5. p(x)=H*sin(4x), a= 4П/4, b= 5П/4, a1= 3.458, b1= 5.076;
6. p(x)=H*cos(2x), a=-13П/ 4, b=-11П/ 4, a1=-10.119, b1=-9.989;
7. p(x)=H*exp(2x), a=-2.7, b=-0.1, a1=-2.24, b1=-1.04;
8. p(x)=H*cos(x/3), a=21П/2, b=27П/2, a1=34.407, b1=35.041;
9. p(x)=H*exp(3x), a=-3.7, b=-0.8, a1=-3.40, b1=-1.70;
10. p(x)=H*cos(x/7), a=49П/2, b=63П/2, a1=78.634, b1=79.004;
11. p(x)=H*sin(2x), a=-4П/2, b=-3П/2, a1=-5.710, b1=-5.321;
12. p(x)=H*cos(x/2), a= 6П/2, b=10П/2, a1=10.401, b1=12.079;
13. p(x)=H*exp(2x), a=-3.7, b=-0.1, a1=-3.55, b1=-0.38;
14. p(x)=H*cos(x/8), a=24П/2, b=40П/2, a1=42.592, b1=47.260;
15. p(x)=H*sin(7x), a= 6П/7, b= 7П/7, a1= 3.051, b1= 4.006;
16. p(x)=H*cos(x/2), a=14П/2, b=18П/2, a1=24.586, b1=26.809;
17. p(x)=H*cos(5x), a=-13П/10, b=-11П/10, a1=-3.687, b1=-3.640;
18. p(x)=H*cos(x/3), a= 9П/2, b=15П/2, a1=16.420, b1=16.476;
19. p(x)=H*exp(x), a=-3.4, b=-0.1, a1=-2.81, b1=-1.08;
20. p(x)=Hx², a=2.0, b=4.3, a1= 2.000, b1= 3.000;
21. p(x)=H*sin(x/8), a=32П, b=40П, a1=100.838, b1=101.214;
22. p(x)=H*sin(x/7), a=14П, b=21П, a1=46.340, b1=46.438;
23. p(x)=H*cos(2x), a=15П/ 4, b=17П/ 4, a1=12.167, b1=12.820;
24. p(x)=H*sin(7x), a=-8П/7, b=-7П/7, a1=-2.081, b1=-1.337;
25. p(x)=H*cos(7x), a= 7П/14, b= 9П/14, a1= 1.788, b1= 2.005;
--------------------------------------------------------------------------

ЗАДАЧА N 2

Величина X подчинена закону распределения с плотностью f(x),
а случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью Y=G(X).
Требуется найти закон распределения (плотность p(y)) величины Y.

1. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=6x+6;
2. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=19x+9;
3. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=19x+12;
4. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=6x+7;
5. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=20x+18;
6. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=17x+10;
7. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=19x+16;
8. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=7x+20;
9. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=12x+9;
10. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=13x+17;
11. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=21x+10;
12. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=12x+9;
13. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=4x+16;
14. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=6x+16;
15. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=9x+8;
16. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=17x+14;
17. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=15x+13;
18. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=14x+5;
19. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=8x+13;
20. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=16x+21;
21. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=20x+6;
22. f(x)=1/[П(1+x*x)], G(X)=13x+2;
23. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=9x+4;
24. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=19x+14;
25. f(x)=exp(x*x/2)/[2П^(1/2)], G(X)=3x+7;
--------------------------------------------------------------------------

ЗАДАЧА N 3

На телефонную станцию поступают вызовы со средней плотностью K вызовов в час.
Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону
Пуассона, найти:

а) вероятность того, что за T1 минуту на станцию поступит ровно n1 вызов;
б) вероятность того, что за T2 минуты придет не менее n2 вызовов;
в) вероятность того, что за T3 минуты придет хотя бы один вызов.

1.K= 99,T1=2,n1=2,T2= 2,n2= 2,T3=0.20;
3.K=125,T1=2,n1=3,T2= 3,n2= 4,T3=0.53;
5.K= 61,T1=4,n1=6,T2= 3,n2= 4,T3=0.16;
7.K=142,T1=1,n1=1,T2= 3,n2= 4,T3=0.34;
9.K= 63,T1=3,n1=3,T2= 2,n2= 2,T3=0.06;
11.K= 90,T1=5,n1=9,T2= 7,n2=12,T3=0.43;
13.K=136,T1=4,n1=4,T2= 1,n2= 1,T3=0.23;
15.K=128,T1=2,n1=2,T2= 4,n2= 4,T3=0.12;
17.K=148,T1=2,n1=3,T2= 5,n2= 6,T3=0.66;
19.K=109,T1=2,n1=3,T2= 7,n2= 7,T3=0.77;
21.K=112,T1=2,n1=2,T2= 5,n2= 5,T3=0.70;
23.K=110,T1=5,n1=9,T2= 4,n2= 7,T3=0.41;
25.K= 79,T1=5,n1=9,T2= 4,n2= 7,T3=0.27;

2.K=119,T1=3,n1=4,T2= 2,n2= 3,T3=0.41
4.K= 90,T1=4,n1=6,T2= 1,n2= 1,T3=0.02
6.K= 67,T1=4,n1=7,T2= 4,n2= 7,T3=0.05
8.K= 80,T1=1,n1=1,T2= 5,n2= 7,T3=0.61
10.K= 67,T1=1,n1=1,T2= 8,n2=10,T3=0.27
12.K=144,T1=3,n1=5,T2= 2,n2= 2,T3=0.05
14.K=102,T1=4,n1=7,T2= 9,n2=13,T3=0.56
16.K= 84,T1=4,n1=7,T2= 1,n2= 1,T3=0.04
18.K=140,T1=2,n1=3,T2= 3,n2= 4,T3=0.40
20.K= 61,T1=1,n1=1,T2= 2,n2= 3,T3=0.66
22.K= 89,T1=1,n1=1,T2= 7,n2=12,T3=0.33
24.K= 81,T1=3,n1=4,T2= 6,n2= 6,T3=0.65

--------------------------------------------------------------------------

ЗАДАЧА N 4

Случайная величина X, распределенная по нормальному закону, представляет собой
ошибку измерения некоторого расстояния.При измерении допускается систематическая
ошибка в сторону завышения на M метров; среднее квадратическое отклонение
ошибки D метров.Найти вероятность того, что отклонение измеренного значения не
превзойдет по абсолютной величине E метров.

1. M=1.6, D=1.0, E=0.7;
4. M=2.4, D=2.4, E=1.1;
7. M=2.7, D=0.6, E=0.1;
10. M=2.4, D=0.5, E=1.8;
13. M=0.7, D=1.4, E=1.2;
16. M=2.0, D=1.1, E=0.8;
19. M=0.5, D=3.0, E=0.9;
22. M=2.6, D=1.5, E=2.2;
25. M=2.8, D=0.5, E=0.8;

2. M=0.9, D=1.8, E=0.3;
5. M=1.5, D=1.4, E=1.8;
8. M=2.3, D=1.5, E=1.7;
11. M=2.3, D=1.7, E=0.2;
14. M=2.0, D=3.2, E=1.3;
17. M=1.8, D=0.8, E=0.2;
20. M=1.3, D=0.7, E=1.3;
23. M=1.7, D=1.0, E=0.2;

3. M=1.8, D=1.0, E=1.4;
6. M=2.1, D=2.6, E=2.4;
9. M=2.7, D=1.3, E=0.6;
12. M=2.8, D=0.7, E=2.2;
15. M=0.7, D=2.1, E=2.1;
18. M=1.4, D=0.6, E=0.8;
21. M=2.9, D=2.8, E=1.5;
24. M=1.7, D=3.3, E=2.1;

--------------------------------------------------------------------------

ЗАДАЧА N 5

Закон распределения случайного вектора (X,Y) дискретного типа определяется таблицей. Требуется:

а) найти безусловные законы распределения компонент X, Y;
б) установить, зависимы они или нет;
в) вычислить вероятность P{X>Y};
г) построить функцию распределения F(X,Y) и найти M[X], M[Y];
д) вычислить коэффициенты ковариации и корреляции;
е) описать условный закон распределения случайной величины X при условии
Y=y0 и найти условное математическое ожидание M[X/Y=y0].

Вариант 1. y0= 3;
\Y(j)| -1 | 0 | 1 |
___________________
X(i)\|____|___|___|

-1| 0.071| 0.067| 0.059|
0 | 0.091| 0.408| 0.083|
1 | 0.091| 0.059| 0.071|

Вариант 2. y0= 4;
\Y(j)| 1 | 2 | 3 | 4 |
_______________________
X(i)\|___|___|___|___|

0 | 0.071| 0.048| 0.071| 0.083|
1 | 0.045| 0.296| 0.048| 0.083|
2 | 0.050| 0.083| 0.043| 0.077|

Вариант 3. y0= 3;
\Y(j)| -1 | 0 | 1 | 2 |
_______________________
X(i)\|____|___|___|___|

-2| 0.050| 0.045| 0.032| 0.040|
-1| 0.040| 0.361| 0.043| 0.048|
0 | 0.043| 0.045| 0.033| 0.043|
1 | 0.045| 0.056| 0.034| 0.038|

Вариант 4. y0= 4;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 | 3 |
_______________________
X(i)\|___|___|___|___|

-2| 0.050| 0.063| 0.043| 0.071|
-1| 0.050| 0.359| 0.053| 0.077|
0 | 0.053| 0.071| 0.048| 0.063|

Вариант 5. y0= 1;
\Y(j)| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
__________________________
X(i)\|___|___|___|___|___|

0 | 0.050| 0.045| 0.034| 0.050| 0.026|
1 | 0.031| 0.317| 0.034| 0.040| 0.048|
2 | 0.026| 0.031| 0.036| 0.028| 0.030|
3 | 0.048| 0.028| 0.030| 0.037| 0.030|

Вариант 6. y0= 2;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 |
___________________
X(i)\|___|___|___|

1 | 0.050| 0.059| 0.071|
2 | 0.059| 0.315| 0.077|
3 | 0.059| 0.059| 0.077|
4 | 0.063| 0.053| 0.059|

Вариант 7. y0= 3;
\Y(j)| 1 | 2 | 3 |
___________________
X(i)\|___|___|___|

-1| 0.045| 0.038| 0.056|
0 | 0.045| 0.317| 0.036|
1 | 0.059| 0.056| 0.038|
2 | 0.053| 0.063| 0.043|
3 | 0.038| 0.067| 0.045|

Вариант 8. y0= 2;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 |
___________________
X(i)\|___|___|___|

-1| 0.100| 0.059| 0.067|
0 | 0.059| 0.356| 0.100|
1 | 0.111| 0.071| 0.077|

Вариант 9. y0= 1;
\Y(j)| -1 | 0 |
________________
X(i)\|____|___|

1 | 0.083| 0.056|
2 | 0.059| 0.349|
3 | 0.056| 0.091|
4 | 0.100| 0.077|
5 | 0.059| 0.071|

Вариант 10. y0= 1;
\Y(j)| -2 | -1 |
________________
X(i)\|____|____|

-1 | 0.250| 0.143|
0 | 0.143| 0.464|

Вариант 11. y0= 1;
\Y(j)| -1 | 0 |
_________________
X(i)\|____|___|

0 | 0.167| 0.167|
1 | 0.091| 0.326|
2 | 0.125| 0.125|

Вариант 12. y0= 4;
\Y(j)| -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
____________________________
X(i)\|____|____|___|___|___|

-1 | 0.100| 0.083| 0.100| 0.059| 0.053|
0 | 0.077| 0.323| 0.091| 0.056| 0.059|

Вариант 13. y0= 5;
\Y(j)| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
___________________________
X(i)\|___|___|___|___|___|

1 | 0.083| 0.091| 0.053| 0.063| 0.100|
2 | 0.071| 0.326| 0.067| 0.091| 0.056|

Вариант 14. y0= 2;
\Y(j)| -2 | -1 | 0 |
_____________________
X(i)\|____|____|___|

-2 | 0.125| 0.091| 0.091|
-1 | 0.111| 0.457| 0.125|

Вариант 15. y0= 2;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 | 3 |
_______________________
X(i)\|___|___|___|___|

-2 | 0.045| 0.056| 0.053| 0.043|
-1 | 0.048| 0.372| 0.067| 0.067|
0 | 0.067| 0.067| 0.045| 0.071|

Вариант 16. y0= 1;
\Y(j)| -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
____________________________
X(i)\|____|___|___|___|___|

-1 | 0.040| 0.048| 0.038| 0.037| 0.036|
0 | 0.042| 0.379| 0.059| 0.056| 0.040|
1 | 0.040| 0.053| 0.043| 0.056| 0.034|

Вариант 17. y0= 1;
\Y(j)| 1 | 2 | 3 |
____________________
X(i)\|___|___|___|

0 | 0.077| 0.063| 0.077|
1 | 0.100| 0.372| 0.077|
2 | 0.091| 0.077| 0.067|

Вариант 18. y0= 1;
\Y(j)| 1 | 2 |
________________
X(i)\|___|___|

0 | 0.071| 0.100|
1 | 0.091| 0.437|
2 | 0.067| 0.071|
3 | 0.071| 0.091|

Вариант 19. y0= 2;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 |
___________________
X(i)\|___|___|___|

-1| 0.063| 0.040| 0.045|
0 | 0.034| 0.263| 0.063|
1 | 0.059| 0.043| 0.056|
2 | 0.063| 0.056| 0.059|
3 | 0.067| 0.048| 0.043|

Вариант 20. y0= 5;
\Y(j)| -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
____________________________
X(i)\|____|___|___|___|___|

0 | 0.034| 0.063| 0.037| 0.056| 0.063|
1 | 0.045| 0.308| 0.063| 0.050| 0.048|
2 | 0.038| 0.053| 0.056| 0.040| 0.048|

Вариант 21. y0= 1;
\Y(j)| -2 | -1 | 0 | 1 |
__________________________
X(i)\|____|____|___|___|

-2| 0.053| 0.037| 0.042| 0.037|
-1| 0.038| 0.352| 0.033| 0.063|
0 | 0.043| 0.040| 0.063| 0.033|
1 | 0.040| 0.056| 0.034| 0.036|

Вариант 22. y0= 4;
\Y(j)| -2 | -1 | 0 | 1 |
__________________________
X(i)\|____|____|___|___|

1 | 0.028| 0.040| 0.040| 0.033|
2 | 0.026| 0.373| 0.034| 0.036|
3 | 0.033| 0.031| 0.037| 0.026|
4 | 0.037| 0.040| 0.036| 0.026|
5 | 0.040| 0.027| 0.028| 0.029|

Вариант 23. y0= 4;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 | 3 |
_______________________
X(i)\|___|___|___|___|

1 | 0.111| 0.083| 0.111| 0.125|
2 | 0.111| 0.222| 0.111| 0.125|

Вариант 24. y0= 1;
\Y(j)| -2 | -1 |
_________________
X(i)\|____|____|

-1| 0.083| 0.091|
0 | 0.063| 0.350|
1 | 0.083| 0.063|
2 | 0.059| 0.083|
3 | 0.059| 0.067|

Вариант 25. y0= 4;
\Y(j)| 0 | 1 | 2 | 3 |
_______________________
X(i)\|___|___|___|___|

1 | 0.071| 0.111| 0.125| 0.071|
2 | 0.111| 0.299| 0.100| 0.111|