Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r (независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью p. Для контроля из продукции завода выбирается n изделий. Найти вероятность следующих событий:

А - ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта;

В - среди n изделий ровно в двух будет обнаружен дефект;

С - среди n изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект.

При въезде в новую квартиру в осветительную сеть было включено 2k новых электролампочек. Каждая электролампочка в течение года перегорает с вероятностью r. Найти вероятность того, что в течение года не менее половины первоначально включенных лампочек придётся заменить новыми.

Система противовоздушной обороны обороняет территорию от воздушного налёта, в котором принимает участие N самолётов. Для поражения каждого из самолётов выделяется два истребителя-перехватчика; каждый истребитель поражает цель независимо от другого с вероятностью p. Найти вероятность того, что в составе воздушного налёта будет поражено:

А - ровно три самолёта;

В - не менее двух самолётов.

Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой n торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью p. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из k отсеков, на которые разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идёт ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти вероятность того, что корабль будет пущен ко дну.

Найти приближенное значение вероятности того, что число успехов S в схеме ис-
пытаний Бернулли с вероятностью успеха P, лежит в пределах a и b.

В страховой компании застраховано N автомобилей. Вероятность поломки любого ав-
томобиля в результате аварии равна P. Каждый владелец застрахованного автомоби-
ля платит в год r рублей страховых и в случае поломки автомобиля в результате
аварии получает от компании R рублей. Найти вероятность событий:
A={по истечении года работы страховая компания потерпит убыток},
B={страховая компания получит прибыль не менее M рублей}.

Пользуясь предельным свойством биномиального распределения (закон редких явле-
ний) найти вероятность того, что в цель попадет:

а) ни одного снаряда;
б) один снаряд;
в) m снарядов,

если известно, что по цели производиться N выстрелов и вероятность попадания в
цель при одном выстреле равна P.