Введение

При больших n вычисление по формуле Бернулли вероятность Р_n (m) представляет собой трудную задачу.

Однако на практике такие задачи возникают довольно часто. Поэтому появляется потребность в выводе приближенных асимптотических формул, дающих возможность с высокой степенью точности вычислять как вероятность Р_n(m), так и суммарные вероятности .

Обычно здесь рассматривают две ситуации:

1. “Редкие” события. Это ситуация, когда вероятность р появления события в каждом испытании сравнительно мала, то есть каждый успех - сравнительно редкое событие, а среднее число успехов np довольно значительно. В этом случае Р_n(m) хорошо приближается распределением Пуассона .
2. Другая математическая модель ( теоремы Муавра-Лапласа ) дает довольно точное приближение в ситуации, когда вероятность успеха р и неуспеха q велики, то есть отделены от 0 и 1, а значит величина npq сравнительно велика

Сопоставим на конкретном примере условия, при которых применимы теоремы Муавра-Лапласа и Пуассона.

Представим себе сосуд V, содержащий разряженный газ, и выделим мысленно в этом сосуде какую-нибудь определенную часть - ячейку В. Допустим n молекул газа перемещаются в сосуде V свободно и независимо друг от друга так, что для любой определенной молекулы вероятность найти ее в ячейке В равна отношению р объемов В и V независимо от того, сколько других молекул уже находятся в ячейке.

Поставим прежде всего задачу определить ввероятность Р_n(m) того, что в ячейке В будет ровно m молекул. Эта задача легко сводится к схеме Бернулли. Представим себе, что мы производим наблюдения за каждой из молекул с целью установить, находится ли молекула в ячейке В. Эти наблюдения состоят из n испытаний, при каждом из которых может произойти или не произойти событие, состоящее в том, что данная молекула находится в ячейке В. Вероятность этого события при каждом испытании будет равна р независимо от исхода остальных событий. Но тогда

Р_n (m)=.

Будем увеличивать теперь число n молекул газа в V. Осуществим это увеличение массы газа двумя способами:

1. При постоянном давлении.
2. При постоянном объеме.

Рассмотрим оба случая отдельно.

Пусть масса газа увеличивается при постоянном давлении ( например, путем присоединения к сосуду новых и новых сосудов такого же объема ). В этом случае будет изменяться не только общее число молекул n, но и вероятность попадания молекул в ячейку Р.

В самом деле эта вероятность равна отношению объема ячейки В к общему объему, заполняемому газом, а этот объем растет. Отсюда ясно, что в этом случае в обширном объеме разряженного газа для величины Р_n (m) следует исследовать ситуацию 1 ( то есть применить теорему Пуассона ).

Отметим, что в этом случае нельзя реально увеличивать n до бесконечности, так как при увеличении объема наступает момент, когда уже нельзя будет считать попадание всех молекул в данную ячейку равновероятным. Но до наступления этого момента общее число молекул n, вообще говоря, будет уже достаточно велико, чтобы пользоваться предельной теоремой.

Пусть теперь масса газа увеличивается при постоянном объеме, т.е. сосуд V остается неизменным. В этом случае картина распределения молекул с ростом их числа n не меняется, и вероятность того, что молекула находится в ячейке В равна р. Таким образом в этом случае выполняются условия ситуации 2

Следует отметить, что реально невозможно увеличивать общее число молекул n в сосуде V до бесконечности, так как наступит момент, когда придется увеличивать взаимодействие молекул и, следовательно, попадание молекул в данную ячейку нельзя считать независимым от других. Но до наступления этого момента молекул будет уже достаточно много, чтобы применить предельную теорему.