2.     Предел функции.

Пусть R – множество действительных чисел (числовая прямая). Пусть aÎR – точка расширенной числовой прямой, т.е. число или один из символов  + ¥, - ¥, ¥.
Обозначим  через U(a) – окрестность точки a и через
n(a) – проколотую  окрестность:
n(a) = U(a)\ {a}.
Пусть функция f(x) определена на множестве X Î R, т.е. f: X Î R ® R.

Определение: Пусть aÎR. Точка aÎR называется предельной для множества X < R, если в любой окрестности этой точки содержится бесконечное множество элементов X. a – не предельная точка для X, если $ точки a, в которой содержится лишь конечное число x Î X.
Пусть a – предельная точка множества X.
Определение: Число b называется пределом функции f(x) при x ® a, если для любого положительного числа e > 0 существует такая проколотая окрестность
n(a) точки a, что для любого x Î
n(a) ") X, выполнено неравенство ½f(x) – b½ < e. При этом пишут:

или f(x) ® b при x ® a.
Если a Î R (т.е. число), то окрестностью U(a) является интервал с центом в точке a. Тогда    определение    предела    записывается    так:   (определение   по   Коши)

если  для любого положительного числа e ("e > 0) существует такое положительное число d ($ d = d(e)), что для любого x ("x) такого, что 0 <½x – a½< d, x Î X, выполнено неравенство ½f(x) – b½< e.
Геометрически это означает, что для всеx x, принадлежащих проколотой d - окрестности точки a, значения f(x) принадлежат e - окрестности точки b (рис. 1).

Отрицания определения Коши:  число b не  является  пределом  функции  f(x) при x ® a  если  существует  eї > 0  такое,  что  для  любого d  > 0 существует x Î X для которого 0 < ½x – a½< b и ½f(x) – b½³ e
Проколотой окрестностью несобственной точки (+ ¥ ),  ( – ¥ ) и  ¥  является любой луч  x > A, x < – A и объединение двух лучей {x > A} îþ {x < – A} соответственно (A > 0).
Тогда: Число b называется пределом функции f(x) при x ® ¥, если для любого положительного числа e > 0 найдётся такое A > 0, что для всех x, x Î X, удовлетворяющих неравенству ½x½> A, справедливо неравенство ½f(x) – b½< e (рис. 2)