Предел последовательности.

Рассмотрим числовую последовательность x1, x2, …, xn, … = {xn}, nÎN.
Определение1: Число а называется пределом последовательности x1, x2, …, xn, …, если для любой окрестности V точки а найдется такой номер N, зависящий от выбранной окрестности V, что все члены последовательности номера которых больше N, принадлежат указанной окрестности V.
В этом случае пишут:
 
Определение2: Число а называется пределом последовательности x1, x2, …, xn, …, если для любого, сколь угодно малого e > 0 найдётся такое число N = N(e) > 0, что "n: n > N выполняется условие ½xn – а½< e.
В этом случае пишут:
 
Неравенство ½ xn – а½< e означает, что элементы  xn  при n > N лежат в интервале (a – e, a + e), который называется e - окрестностью точки a.
В символьной записи: число а – предел последовательности {xn}, если" U(a)  $N  "n ³ N: xn ÎU(a)

Определение: Последовательность называется бесконечно малой, если предел этой последовательности равен нулю.