Вопросы к экзамену

по математическому анализу

1-й семестр

1. Понятие множества. Операции над множествами.

2. Отображения множеств. Эквивалентные множества.

3. Счетные множества.

4. Рациональные числа.

5. Бесконечные десятичные дроби.

6. Понятие вещественного числа.

7. Сравнение вещественных чисел.

8. 8 Сравнение отрицательных вещественных чисел. Нахождение рационального числа между любыми двумя вещественными числами.

9. 9 Несчетность множества вещественных чисел. Взаимно однозначное соответствие между вещественными числами и точками прямой.

10. Арифметические операции над вещественными числами.

11. Ограниченные подмножества вещественных чисел.

12. Свойство полноты множества вещественных чисел.

13. Отсутствие полноты у множества рациональных чисел.

14. Сходящиеся последовательности и их свойства.

15. Простейшие свойства сходящихся последовательностей.

16. Теорема сравнения для последовательностей.

17. Монотонные и ограниченные последовательности. Примеры.

18. Число е.

19. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности.

20. Подпоследовательности. Лемма о вложенных отрезках.

21. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

22. Неравенство Бернулли. Вычисление некоторых пределов последовательности.

23. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши.

24. Понятие функции одного переменного. Монотонность. Обратные функции.

25. Предел функций. Эквивалентные определения.

26.  Единственность предела. Критерий Коши.

27. Основные теоремы о пределах функции.

28. Теорема сравнения для пределов функций.

29. Односторонние пределы.

30. Бесконечные пределы.

31. Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация. Примеры.

32. Теорема о локальной ограниченности непрерывной функции

33. Теорема о сохранении знаку у непрерывной функции в точке.

34. Непрерывность сложной функции.

35. Свойства функций непрерывных на отрезке (Теорема Коши).

36. Свойства функций непрерывных на отрезке (Теорема Вейерштрасса).

37. Вторая теорема Вейерштрасса.

38. Замечания ко второй теореме Вейерштрасса.

39. Равномерно непрерывные на множестве функции. Примеры.

40. Теорема Кантора.

41. Монотонные функции.

42. Связь между непрерывностью и областью значений монотонно функции.

43. Теорема о непрерывности монотонной функции, обратной функции.

44. Непрерывность степенной функции и функции с рациональным показателем.

45. Непрерывность показательной функции.

46. Непрерывность логарифмической функции и функции с вещественным показателем.

47. Непрерывность тригонометрических и обратных к тригонометрическим функций.

48. Первый замечательный предел.

49. Следствия из первого замечательного предела.

50. Второй замечательный предел.

51. Следствия из второго замечательного предела.

52. Сравнение функций с точки зрения предельного перехода. О символика. Примеры.

53. Понятие производной функции и дифференцируемости функции в точке. Связь между существованием производной и дифференцируемостью.

54. Производная функции. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Односторонние производные. Примеры.

55. Геометрический и физический смысл производной. Уравнение касательной к графику функции в точке.

56. Правила дифференцирования.

57. Дифференцирование сложной, обратной функции.

58. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.

59. 59 Дифференциал функции. Свойство инвариантности формы дифференциала.

60. Теоремы о среднем значении (Ферма, Ролля).

61. Теорема Лагранжа и следствия из нее.

62. Теоремы о среднем значении (Коши).

63. Производные и дифференциалы высших порядков.

64. Формула Тейлора Основная задача.

65. Формула Тейлора с остаточным членом в форме. Пеано

66. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

67. Формулы Тейлора для основных элементарных функций $$ e^x, ln(1+x) $$.

68. Формулы Тейлора для основных элементарных функций (тригонометрические функции).

69. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенности типа $$ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} $$ при $$ x \to a $$ Примеры применения.

70. Монотонные функции. Достаточные условия монотонности.

71. Локальные экстремумы. Исследование функции на экстремум. Необходимые и достаточные условия экстремума.

72. Исследование функций на экстремум. Достаточные условия существования экстремума.

73. Выпуклость графика функции. Достаточные условия существования точек перегиба функции.

74. Необходимые и достаточные условия выпуклости функции

75. Асимптоты функции.