примеры к данной теме

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Пусть функция (z) – определена и непрерывна в области G, а G – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области G; z=x+iy, f(z)=u+iv, где u=u(x,y), v=v(x,y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции w=f(z) сводится к вычислению криволинейных интегралов второго рода

Если кривая задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), а начальная и конечная точки дуги соответствуют значениям t=a, t=b, то

где z(t)=x(t)+iy(t).

Пусть Г – кусочно-гладкая кривая, состоящая из гладких частей Г1, Г2...Гn. Тогда

Теорема: Если f(z) является аналитической функцией в некоторой односвязной области G, ограниченной кусочно-гладкой кривой Г, и на самой кривой, то

, (теорема Коши),

и для любой внутренней точки z0ОG имеем

(интегральная формула Коши).

Кроме того, справедлива формула

Из теоремы Коши следует, что если w=f(z) – аналитическая функция в односвязной области G, то интеграл не зависит от пути интегрирования Г (зависит только от начальной и конечной точек). В этом случае для вычисления интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

где

F(z) – какая-либо первообразная функции f(z), т. е. F'(z)=f(z).

Для нахождения первообразной аналитической функции f(z) применяют те же табличные формулы и приемы интегрирования, что и при нахождении неопределенных интегралов для функций действительного переменного.

 

Пусть теперь f(z) аналитическая функция, как во внутренних точках (n+1) – связной области D, ограниченной кусочно-гладкими кривыми g0, g1,... gn, (причем каждая из кривых g1,... gn лежит вне остальных и все они расположены внутри g0), так и на границе, т. е. на граничных кривых. В таком случае справедлива теорема Коши для многосвязных областей:

где  – полная граница области D, причем все кривые её составляющие ориентированы так, что область D остается слева.

Следует отметить, что в этой ситуации сами внутренние кривые обходятся в “отрицательном” направлении, т. е.

.

Отсюда немедленно вытекает равенство:

здесь кривые g0, g1,... gn обходятся в “положительном” направлении, т. е. против часовой стрелки.

Если теперь z0ОD, то выполняется также и интегральная формула Коши: