Двойные интегралы

Двойные интегралы

I. Вычисление двойных интегралов с помощью двойного интегрирования.

II. Замена переменной в двойном интеграле.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определённые интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т.д.).

I. Вычисление двойных интегралов с помощью двойного интегрирования.

Пусть функция f(x, y) непрерывна^*) в области G. Если G прямоугольник P,, то при вычислении двойного интеграла,

имеет место формула

которая показывает, что порядок интегрирования можно менять.

Интеграл (1) представляет собой объём тела, ограниченного снизу прямоугольником P, сбоку - боковыми гранями прямой призмы, построенном на этом прямоугольнике, а сверху - той частью поверхности, которая вырезана этой призмой (рис. 1).

2. Если функция f(x, y) непрерывна на множестве

где и непрерывны на отрезке [a, b] и на [a, b]

(рис. 2), то

Правая часть в (3) называется повторным интегралом, то есть результатом последовательного вычисления сначала интеграла по y при фиксированном x, а затем интеграла по x от получившейся функции.

3. Если функция f(x, y) непрерывна в области G (рис. 3),

где функции и непрерывны на сегменте [c, d] и на [c, d], то верно равенство

4. Если область G такова (рис. 4), что к ней применима и формула (3) и формула (4), то

Это равенство используется для перемены порядка интегрирования в повторном интеграле.

Области более сложного вида следует разбить на части, к которым применима формула (3) или (4).

Двойной интеграл представляет собой объём

цилиндрического бруса - тела, ограниченного сверху поверхностью z= f(x, y), с боков цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси z, снизу - фигурой G на плоскости xy (рис. 5).

Пример 1. Измерить порядок интегрирования в интеграле

Решение. В рассматриваемом примере следует начинать с построения области интегрирования, поскольку интегралы заданы с указанием порядка интегрирования и пределов по соответствующим переменным. Напомним, что переменные пределы интегрирования внутреннего интеграла являются границами изменения x при фиксированном y. Поэтому область интегрирования G₁ для первого интеграла можно задать неравенствами

где и представляют собой дуги параболы лежащие ниже оси Ox. Область интегрирования во втором интеграле имеет вид

где кривые и представляют собой дуги параболы и дугу окружности лежащие выше оси Ox.

Пусть G = G₁UG₂ (рис. 6). Тогда каждая прямая x = const, пересекает множество G по отрезку с концами и

Следовательно, область G можно представить в виде

А, значит,

Заметим, что перемена порядка интегрирования в повторном интеграле иногда существенно упрощает его вычисление.

Пример 2. Вычислить интеграл где область G ограничена линиями: и у = 0 (рис.7).

Решение. При каждом фиксированном значении y, значение x меняется от до x = (2 - y) e. Поэтому

Интегрируя теперь функцию по y в пределах от y = 0 до y = 1, получим

При вычислении интеграла

используем форму интегрирования по частям. Имеем

Итак,

Пример 3. Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями

Решение. Область интегрирования G имеет вид (рис. 8).

Согласно формуле (3) имеем

Пример4. Вычислить объём тела, отсекаемого от эллиптического параболоида плоскостью x = k (k > 0) (рис. 9).

Решение. В каждом из четырёх октантов, где x положительно, находится четвёртая часть тела. Исходя из этого, получаем

II. Замена переменной в двойном интеграле.

Замена переменной в интеграле состоит в переходе переменных x и y к новым переменным u и v, связанных со старыми соотношениями

Если выполняются условия:

1°. Отображение (6) взаимно однозначно.

2°. Функция в (6) непрерывно - дифференцируемы в области D.

3°. Якобиан отображения (6)

то имеет место формула

Обычно замена переменных производится с целью упрощения области интегрирования. Соотношения (6) называют переходом от прямоугольных декартовых координат к криволинейным.

Примером криволинейных координат являются полярные координаты связанные с прямоугольными (x, y) формулами

Якобиан преобразования (8) равен

Если то

Используются также обобщение полярные координаты. В качестве примера вычислим объём тела заданного в примере 3 (второй способ).

Решение. Введём обобщение полярные координаты Тогда

III. Площадь области.

Площадь S квадрируемой области G в плоскости xy находится по формуле

Переходя к криволинейным координатам, получим

Величину dxdy называют элементом площади в прямоугольных координатах; - элементом площади в криволинейных координатах; - элемент площади в полярных координатах.