Курс математического анализа.

Типовой расчёт №7 по теме “Функции многих переменных. Дифференцирование”.

1.Дана функция z = f(x, y). Найти:

a)Полные дифференциалы первого порядка dz и второго порядка d2z;

b)Частные производные первого и второго порядка.

2.Дана функция z = f(x, y) и точки P1(x1; y1) и P2(x2; y2). Найти приближенное значение данной функции в точке P2, исходя из её точного значения в точке P1, заменяя приращение D z дифференциалом dz.

f (x2, y2) = f (x1, y1) + [dz]|(x = x1; y = y1)

3.Найти частные производные z/ u и z/ v если заданы:

z = z(x, y), x = x(u, v) и y = y(u, v).

4.Дана функция z = f(x, y) заданная неявно (F(x, y, z) = 0). Найти частные производные и дифференциалы первого порядка.

5.Дана функция z = f(x, y) и точка P0(x0; y0). Найти grad f(P0), производную z/ l в направлении вектора l в точке P0.

6.Дано уравнение поверхности F(x, y, z) = 0. Составить уравнение касательной плоскости и нормали к данной поверхности

в точке M0(x0, y0, z0).

7.Исследовать функции на экстремум:

a)u = a x2 + b y2 + c xy + g x + h y;

b)v = xy + a/ x + b/ y.

8.Найти условный экстремум функций:

a)u = x + y, при xp yq = h;

b)v = x2/ a2 + y2/ b2 + z2/ c2,

при x2 + y2 + z2 = 1, x/ 2 + y/ 31/2 + z/ 2 ? (5/ 3)1/2 = 0.

К началу страницы