Курс математического анализа.

Типовой расчёт №3 по теме “ Производная. Приложения производной ”.

O1. Найти, по определению, производную функции f(x) в ноле  варианты к задаче 01

1.Разложить по формуле Тейлора в окрестности т. x₀
 

 a) ln(ax); x0=1 если а>0 и -1 если a<0

2.Пусть

 
   

При каких значениях k и d функция f(x) непрерывна и дифференцируема

в т. x_0.

_{Указание к решению}

3.Найти пределы следующих выражений при x ® 0⁺:

 
 
 
 где F₁(x), F₂(x), F₃(x), F₄(x) - заданные функции.

4.Даны функции F_i(x) и G_i(x) , где i = 1, 2, 3, 4. Для композиций

f_i(x)=F_i((x-a)^k)-G_i((x-a)^m)
 

a)Найти эквивалентную функцию вида C(x -a)ⁿ (главный член ряда Тейлора) и определить порядок малости относительно бесконечно малой (x - a);

b)Вычислить, при x ® a пределы следующих выражений:

 
 

5. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью v₀. Определить: в какие моменты вертикальная составляющая его скорости равна 0; направление движения совпадает с положительным направлением оси OX; направление движения образует угол b с положительным направлением оси OX; высота подъёма максимальная; модуль скорости максимальный. (Углы в радианах)

6. На рисунке приведён график функции y = f(x). Установить физический смысл средней скорости изменения функции на промежутке и производной функции в точке, найти единицы их измерения, если:

a)График изображает зависимость пройденного пути от времени. По оси ординат - путь S в метрах, по оси абсцисс - время t в минутах;

b)График изображает процесс нагревания некоторого тела. По оси ординат - температура T в градусах Цельсия, по оси абсцисс - время t в секундах;

c)График изображает зависимость массы израсходованного горючего от величины пройденного пути. По оси ординат – масса m топлива в граммах, по оси абсцисс - пройденный путь s в километрах;

d)График изображает зависимость массы части неоднородного стержня от длины этой части стержня. По оси ординат - масса m стержня в граммах, по оси абсцисс - длина L этой части стержня в сантиметрах;

e)График изображает склон холма. По оси ординат - высота h над нулевой отметкой в метрах, по оси абсцисс - расстояние x по перпендикуляру к нулевой горизонтали в метрах;

f)График изображает зависимость напряжения на выходе усилительного устройства от напряжения на входе. По оси ординат - выходное напряжение U в вольтах, по оси абсцисс - величина входного напряжения e в вольтах;

g)График изображает зависимость Q количества тепла, которое надо сообщить телу для нагревания его от некоторой исходной температуры (напр. от 0° С) до температуры q ° С. (теплоемкость);

h)График изображает зависимость длины стержня L(м) при нагревании от температуры t (при t = 0 полагаем L = 1);

i)График изображает зависимость нагрузки p, приходящейся на участок балки от её начала до точки с абсциссой x (обычно эту нагрузку изображают в виде площади).