Курс математического анализа.
Типовой расчёт №3 по теме “ Производная. Приложения производной ”.
O1. Найти, по определению, производную функции f(x) в ноле варианты к задаче 01
1.Разложить по формуле
Тейлора в окрестности т. x0
a) ln(ax); x0=1 если а>0 и -1 если a<0
![]()
2.Пусть
![]()
При каких значениях k и d функция f(x) непрерывна и дифференцируема
в т. x0.
3.Найти пределы следующих выражений при x ® 0+:
![]()
где F1(x), F2(x), F3(x), F4(x) - заданные функции.4.Даны функции Fi(x) и Gi(x) , где i = 1, 2, 3, 4. Для композиций
fi(x)=Fi((x-a)k)-Gi((x-a)m)
a)Найти эквивалентную функцию вида C(x -a)n (главный член ряда Тейлора) и определить порядок малости относительно бесконечно малой (x - a);
b)Вычислить, при x ® a пределы следующих выражений:
5. Тело брошено под углом a к горизонту с начальной скоростью v0. Определить: в какие моменты вертикальная составляющая его скорости равна 0; направление движения совпадает с положительным направлением оси OX; направление движения образует угол b с положительным направлением оси OX; высота подъёма максимальная; модуль скорости максимальный. (Углы в радианах)
6. На рисунке приведён график функции y = f(x). Установить физический смысл средней скорости изменения функции на промежутке и производной функции в точке, найти единицы их измерения, если:
a)График изображает зависимость пройденного пути от времени. По оси ординат - путь S в метрах, по оси абсцисс - время t в минутах;
b)График изображает процесс нагревания некоторого тела. По оси ординат - температура T в градусах Цельсия, по оси абсцисс - время t в секундах;
c)График изображает зависимость массы израсходованного горючего от величины пройденного пути. По оси ординат – масса m топлива в граммах, по оси абсцисс - пройденный путь s в километрах;
d)График изображает зависимость массы части неоднородного стержня от длины этой части стержня. По оси ординат - масса m стержня в граммах, по оси абсцисс - длина L этой части стержня в сантиметрах;
e)График изображает склон холма. По оси ординат - высота h над нулевой отметкой в метрах, по оси абсцисс - расстояние x по перпендикуляру к нулевой горизонтали в метрах;
f)График изображает зависимость напряжения на выходе усилительного устройства от напряжения на входе. По оси ординат - выходное напряжение U в вольтах, по оси абсцисс - величина входного напряжения e в вольтах;
g)График изображает зависимость Q количества тепла, которое надо сообщить телу для нагревания его от некоторой исходной температуры (напр. от 0° С) до температуры q ° С. (теплоемкость);
h)График изображает зависимость длины стержня L(м) при нагревании от температуры t (при t = 0 полагаем L = 1);
i)График изображает зависимость нагрузки p, приходящейся на участок балки от её начала до точки с абсциссой x (обычно эту нагрузку изображают в виде площади).
К началу страницы Варианты расчетов в формате xls